[논문 리뷰] On the Iwasawa Main conjecture of abelian varieties over function fields

King Fai Lai, Ignazio Longhi외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 함수체 위의 아벨 다양체에 대한 아이와사와 주요 추측의 특수한 경우를 증명하며, 임의의 군자기형을 갖는 해스-베일 L-함수를 보간하는 p진 L-함수를 수립하고, 아벨 다양체의 세일머 군과 그 쌍대의 세일머 군을 연결하는 특성 이상수의 등식을 만족한다. 주요 결과는 아이와사와 이론에서 일반적인 대수적 함수방정식을 통해 유도된, A와 그 쌍대 A^t의 쌍대 세일머 군 간의 가역동형 관계이다.

ABSTRACT

We study a geometric analogue of the Iwasawa Main Conjecture for abelian varieties in the two following cases: constant ordinary abelian varieties over $Z_p^d$-extensions of function fields ($d\geq 1$) ramified at a finite set of places, and semistable abelian varieties over the arithmetic $Z_p$-extension of a function field. One of the tools we use in our proof is a pseudo-isomorphism relating the duals of the Selmer groups of $A$ and its dual abelian variety $A^t$. This holds as well over number fields and is a consequence of a quite general algebraic functional equation.

연구 동기 및 목표

• 함수체 위의 상수 일반 아벨 다양체에 대한 Z_p^d-확장과, 산술적 Z_p-확장 위의 반안정 아벨 다양체에 대해 함수체 위의 아이와사와 주요 추측을 수립하는 것.
• 전역체 위의 아벨 다양체의 세일머 군에 대한 일반적인 대수적 함수방정식을 증명하여, A와 그 쌍대 A^t의 쌍대 세일머 군 간의 관계를 규명하는 것.
• Iwasawa 대수 Q(Λ) 내에서 정의된 p진 L-함수 L_A/L ∈ Q(Λ)를 구성하여 임의의 임계점에서의 변형된 해스-베일 L-값을 보간하는 것.
• 잠재적으로 일반적인 환원 조건 하에서, A의 쌍대 세일머 군의 특성 이상수와 A^t의 그것이 가역동형 관계를 갖는다.

제안 방법

• Iwasawa 이론에서의 일반적인 대수적 함수방정식에서 유도된, 아벨 다양체 A와 그 쌍대 A^t의 쌍대 세일머 군 간의 가역동형 관계를 사용한다.
• 통제된 Γ-시스템과 쌍대 이론을 적용하여 세일머 군을 신토믹 코hom로지와 갈루아 코hom로지와 연결한다.
• Frobenius 작용과 Z_p^d-확장에 대한 Iwasawa 이론을 활용하여 세일머 군의 구조를 분석한다.
• Iwasawa 대수 Λ = Z_p[[Γ]]와 그 분수체 Q(Λ)를 사용하여 p진 L-함수를 정의하고 연구한다.
• 모든 연속적 특성 ω: Γ → C^×에 대해, L_T(A,ω,1)의 변형된 L-값을 보간하는 p진 L-함수 L_A/L ∈ Q(Λ)를 구성한다.
• Iwasawa 대수에서의 반대극성 변환 λ ↦ λ^#을 적용하여 A와 A^t의 세일머 군의 특성 이상수 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 상수 일반 아벨 다양체에 대해 Z_p^d-확장에서 아이와사와 주요 추측이 성립하는가?
• RQ2 함수체 위의 아벨 다양체에 대해 Iwasawa 대수 내에 변형된 해스-베일 L-값을 보간하는 p진 L-함수가 존재하는가?
• RQ3 Iwasawa 모듈러 설정에서 아벨 다양체 A와 그 쌍대 A^t의 쌍대 세일머 군은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 Iwasawa 대수 내의 함수방정식을 통해 A의 쌍대 세일머 군의 특성 이상수를 A^t의 그것과 연결할 수 있는가?
• RQ5 함수체 설정에서 p진 L-함수와 세일머 군의 특성 원소 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 p진 L-함수 L_A/L ∈ Q(Λ)를 구성하여, 임의의 연속적 특성 ω: Γ → C^×에 대해 ω(L_A/L)가 L_T(A,ω,1)에 비례하며, 명시적인 보정 인자 *_{A,T,ω}를 갖는다. 이 보정 인자는 반안정 경우에서 1이다.
• 상수 일반 아벨 다양체의 경우, p진 L-함수는 L_A/L ≡ ⋆_{A,L} · c_{A/L} mod Λ^× 를 만족하며, ⋆_{A,L} = 1 이므로 p진 L-함수는 특성 이상수의 생성자이다.
• 산술적 Z_p-확장 위의 반안정 아벨 다양체의 경우, p진 L-함수는 보정 인자가 없이 변형된 L-값을 보간하며, 특성 원소 c_{A/L}는 p진 L-함수와 같은 이상수를 생성한다.
• 비가역적 환원 조건 하에서, A의 쌍대 세일머 군 X_p(A/L)는 A^t의 쌍대 세일머 군 X_p(A^t/L)와 가역동형 관계에 있다. 즉, X_p(A/L) ∼ X_p(A/L)^# ∼ X_p(A^t/L)이며, 이는 세일머 군에 대한 함수방정식을 증명한다.
• X_p(A/L)의 특성 이상수는 χ(X_p(A/L)) = χ(X_p(A/L))^# = χ(X_p(A^t/L))를 만족하며, 이는 세일머 군이 토크셔널이 아닐 때에도 성립한다.
• 비토크셔널 예시에서는 p진 L-함수가 식별적으로 0이 되며, 이는 특성 이상수가 0임을 기대하는 바와 일치한다.