[논문 리뷰] On the Iwasawa theory of p-adic Lie extensions

Otmar Venjakob|ArXiv.org|2001. 06. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비가환 Iwasawa 대수를 사용하여 p-진 리 확장에 대한 Iwasawa 이론을 개발하며, 갈루아 모듈을 연구하기 위해 주요 등가 관계로 초등동치를 도입한다. 이는 아벨 다양체의 세르머 군과 홀수군이 이러한 확장에서 Ext 모듈과 밀접하게 관련되어 있음을 보여주며, 핵심 결과로 이중 세르머 군과 단위의 갈루아 모듈이 휘어짐과 쌍대성에 대해 초등동치임을 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper the new techniques and results concerning the structure theory of modules over non-commutative Iwasawa algebras are applied to arithmetic: we study Iwasawa modules over p-adic Lie extensions K of number fields k "up to pseudo-isomorphism". In particular, a close relationship is revealed between the Selmer group of abelian varieties, the Galois group of the maximal abelian unramified p-extension of K as well as the Galois group of the maximal abelian outside S unramified p-extension where S is a finite set of certain places of k. Moreover, we determine the Galois module structure of local units and other modules arising from Galois cohomology.

연구 동기 및 목표

• 비가환 p-진 리 확장으로의 Iwasawa 이론 확장을 비가환 Iwasawa 대수 위의 모듈의 구조 이론을 통해 수행한다.
• 초등동치에 대해 세르머 군, 홀수군, 단위의 갈루아 모듈 구조를 이해한다.
• 기존의 Z_p-확장 결과를 더 일반적인 p-진 리 군으로 일반화한다. 특히 아벨 다양체의 맥락에서.
• Ext 함자들을 통해 최대 아벨 비분할 p-확장의 갈루아 모듈과 이중 세르머 군 사이의 관계를 설정한다.
• 이들 모듈이 비자명한 초등무한 부분모듈을 가지지 않거나, 자유 모듈임을 보장하는 조건을 규명한다.

제안 방법

• G가 p-토르션이 없는 컴팩트 p-진 리군일 때, Iwasawa 대수 $\Lambda(G)$ 위의 초등무한 모듈 개념을 적용한다.
• 초등무한 모듈의 세레 부분분류 $\mathcal{PN}$을 포함하는 몫분류 $\Lambda\text{-mod}/\mathcal{PN}$을 정의하여 초등동치에 따른 등가를 정의한다.
• Auslander 정규환 이론을 활용하여 $\Lambda(G)$-모듈의 구조를 분석하며, 특히 코homological 차원과 $H^2$의 소멸과의 관계를 다룬다.
• 이wasawa 쌍대 $\mathrm{E}^1(M) = \mathrm{Ext}^1_{\Lambda}(M, \Lambda)$를 적용하여 이중 세르머 군과 홀수군을 연결한다.
• 지역 모듈의 전역 모듈 성분을 분석하기 위해 유도 및 제한 함자 $\mathrm{Ind}^G_{G_\nu}$를 사용한다.
• Néron-Ogg-Shafarevich 기준과 Imai 정리를 적용하여 $S_{\text{bad}} \cup S_p$에 속하는 자리들에서 갈루아 군의 비자명성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈루아 모듈 $X_S$가 $S$ 외부에서 비분할인 최대 아벨 p-확장의 갈루아 모듈이 비자명한 초등무한 부분모듈을 가지지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 p-진 리 확장에서 아벨 다양체의 세르머 군과 단위의 갈루아 모듈은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 역함수 $g \mapsto g^{-1}$에 대한 휘어짐에서 이중 세르머 군이 단위의 모듈과 초등동치인가?
• RQ4 $\mathrm{H}^1(G_S(k_\infty), \mathcal{A}(p))^\vee$가 비자명한 초등무한 부분모듈을 가지지 않도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 기존의 Iwasawa 정리(홀수군과 이중 세르머 군 간의 관계)를 비아벨 p-진 리 확장으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $H^2(G_S(k_\infty), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) = 0$ 이면, $X_S$는 비자명한 초등무한 부분모듈을 가지지 않는다.
• $\mu_p^\infty \subseteq k_\infty$ 이고 모든 $\nu \in S_f$ 에 대해 $\dim(G_\nu) \geq 2$ 이면, $X_{nr}(-1) \sim X_{cs}^S(-1) \sim \mathrm{E}^1(\mathrm{tor}_\Lambda X_S)$ 이다.
• 만약 $G \cong \mathbb{Z}_p^r$ 이고 $r \geq 2$ 이면, $X_{nr}(-1) \sim X_{cs}^S(-1) \sim (\mathrm{tor}_\Lambda X_S)^\circ$ 이며, $^\circ$ 는 역자기동형사상에 의한 휘어짐을 의미한다.
• 모든 p 위의 자리들에서 양호한 초등특이 환원을 갖는 아벨 다양체 $\mathcal{A}$ 에 대해, $X_{cs}[\mathcal{A}^d(p)] \sim \mathrm{E}^1(\mathrm{tor}_\Lambda(\mathrm{Sel}(\mathcal{A}, k_\infty)^\vee))$ 이다.
• CM 경우에선 $X_{cs}[\mathcal{A}^d(p)] \sim (\mathrm{tor}_\Lambda(\mathrm{Sel}(\mathcal{A}, k_\infty)^\vee))^\circ$ 이며, Billot의 결과를 복원한다.
• 모듈 $\mathrm{H}^1(G_S(k_\infty), \mathcal{A}(p))^\vee$ 는 $G$ 가 p-토르션이 없을 경우 비자명한 초등무한 부분모듈을 가지지 않는다.