[논문 리뷰] On the $k$-error linear complexity for $2^n$-periodic binary sequences via Cube Theory

Jianqin Zhou, Wanquan Liu|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 07.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $2^n$-주기 이진 순열의 $k$-오차 선형 복잡도를 분석하기 위해 큐브 이론을 도입하여, 최대 안정적 $k$-오차 선형 복잡도를 갖는 순열의 구축을 가능하게 한다. 순열을 상호 배타적인 큐브로 분해하고, 세数 공식을 유도함으로써, $2^{l-1} \leq k < 2^l$ 일 때 최대 $k$-오차 선형 복잡도가 $2^n - (2^l - 1)$ 임을 규명하며, 고정된 선형 복잡도를 갖는 다중큐브 순열을 특성화하기 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The linear complexity and k-error linear complexity of a sequence have been used as important measures of keystream strength, hence designing a sequence with high linear complexity and $k$-error linear complexity is a popular research topic in cryptography. In this paper, the concept of stable $k$-error linear complexity is proposed to study sequences with stable and large $k$-error linear complexity. In order to study k-error linear complexity of binary sequences with period $2^n$, a new tool called cube theory is developed. By using the cube theory, one can easily construct sequences with the maximum stable $k$-error linear complexity. For such purpose, we first prove that a binary sequence with period $2^n$ can be decomposed into some disjoint cubes and further give a general decomposition approach. Second, it is proved that the maximum $k$-error linear complexity is $2^n-(2^l-1)$ over all $2^n$-periodic binary sequences, where $2^{l-1}\le k&lt;2^{l}$. Thirdly, a characterization is presented about the $t$th ($t&gt;1$) decrease in the $k$-error linear complexity for a $2^n$-periodic binary sequence $s$ and this is a continuation of Kurosawa et al. recent work for the first decrease of k-error linear complexity. Finally, A counting formula for $m$-cubes with the same linear complexity is derived, which is equivalent to the counting formula for $k$-error vectors. The counting formula of $2^n$-periodic binary sequences which can be decomposed into more than one cube is also investigated, which extends an important result by Etzion et al..

연구 동기 및 목표

• 소규모 변형에 의한 선형 복잡도의 불안정성을 해결하기 위해 안정적 $k$-오차 선형 복잡도 개념을 도입한다.
• $2^n$-주기 이진 순열에서 $k$-오차 선형 복잡도를 연구하기 위한 새로운 분석 도구인 큐브 이론을 개발한다.
• 서로 독립적인 다수의 큐브를 갖는 순열과 고정된 선형 복잡도를 특성화하며, 이전에 두 가지 $k$-오차 복잡도 값(즉, $L(s)$ 또는 0)을 갖는 순열에 대한 연구를 확장한다.
• 다중 큐브로 분해된 순열에 대한 정확한 세수 공식을 유도하며, Etzion 등이 이전에 얻은 결과를 일반화한다.

제안 방법

• $2^n$-주기 이진 순열을 상호 배타적인 큐브로 분해함으로써 각 큐브가 전체 선형 복잡도에 기여하는 바를 독립적으로 분석할 수 있도록 한다.
• 큐브가 상대적으로 독립적이도록 보장하는 표준 큐브 분해 방법을 수립하여 순열의 모듈러 구축을 가능하게 한다.
• 큐브 이론을 활용해 동일한 선형 복잡도를 갖는 $m$-큐브에 대한 세수 공식을 도출하며, 이는 $k$-오차 벡터의 수와 동치임을 보인다.
• 이론을 적용하여 $k$-오차 선형 복잡도의 $t$-번째 감소($t>1$)를 특성화하며, 이전 연구에서 다룬 첫 번째 감소를 넘어서는 결과를 도출한다.
• 큐브 간의 간섭을 방지하기 위해, 예를 들어 $2^{j_1} > 2^t$ 와 같은 조건을 도입하여 다중 큐브의 독립적 구축 조건을 제시한다.
• 선형 복잡도가 특정로 설정된 세 개의 독립적 큐브를 갖는 순열의 수에 대한 명시적 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 안정적 $k$-오차 선형 복잡도는 $2^n$-주기 이진 순열에서 얼마이며, 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ2 $2^n$-주기 이진 순열을 체계적으로 상호 배타적인 큐브로 분해하여 $k$-오차 선형 복잡도 분석을 가능하게 할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 동일한 선형 복잡도를 갖는 $m$-큐브를 갖는 순열에 대한 세수 공식은 무엇이며, 이는 $k$-오차 벡터와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $2^n$-주기 이진 순열에서 $k$-오차 선형 복잡도의 $t$-번째 감소는 어떻게 특성화할 수 있는가? 특히 $t>1$ 인 경우에 대해 설명하라.
• RQ5 다수의 큐브를 포함하는 순열에서 각 큐브의 선형 복잡도가 상호 영향을 주지 않도록 보장하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $2^{l-1} \leq k < 2^l$ 일 때, $2^n$-주기 이진 순열의 최대 $k$-오차 선형 복잡도는 $2^n - (2^l - 1)$ 로서, $k$-오차 변형 하에서 도달 가능한 최고의 값이다.
• 임의의 $2^n$-주기 이진 순열을 상호 배타적인 큐브로 분해할 수 있는 일반적인 방법을 제시하여 선형 복잡도의 모듈러 분석을 가능하게 한다.
• $t=3$ 인 경우, 특정 선형 복잡도를 갖는 세 개의 독립적 큐브를 갖는 $2^n$-주기 이진 순열의 수는 두 제곱수와 하밍 무게 조건을 포함하는 닫힌 형식의 공식으로 주어진다.
• 동일한 선형 복잡도를 갖는 $m$-큐브에 대한 세수 공식을 도출하였으며, 이는 $k$-오차 벡터의 수와 동치임을 입증하였다.
• Etzion 등이 두 가지 $k$-오차 복잡도 값(즉, $L(s)$ 또는 0)만 갖는 순열에 대해 얻은 결과를, 다수의 큐브와 고정된 비영 복잡도를 갖는 순열로 확장하였다.
• 이 이론을 통해 소수의 변경으로도 원래 값 이하로 선형 복잡도가 떨어지지 않도록 보장함으로써, 최대 안정적 $k$-오차 선형 복잡도를 갖는 순열의 구축이 가능해진다.