[논문 리뷰] On the K-theory of the C*-algebra generated by the left regular representation of an Ore semigroup

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 가산 왼쪽 오어 반군의 왼쪽 정규 표현에 의해 생성된 축약 C*-대수의 K-이론을 정규 조건 하에서 계산하며, 이는 안정자 부분군의 축약 군 C*-대수의 K-이론의 직합과 동형임을 보여준다. 결과는 교차곱 포함과 계수를 가진 바움-콘스 컨jecture에 기반하여, 프로젝션 위의 군 작용을 통한 K-이론 축소를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We compute the K-theory of C*-algebras generated by the left regular representation of left Ore semigroups satisfying certain regularity conditions. Our result describes the K-theory of these semigroup C*-algebras in terms of the K-theory for the reduced group C*-algebras of certain groups which are typically easier to handle. Then we apply our result to specific semigroups from algebraic number theory.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽 오어 반군이 정규 조건을 만족할 때, 그 왼쪽 정규 표현에 의해 생성된 축약 C*-대수의 K-이론을 계산하는 것.
• 그러한 반군 C*-대수의 K-이론을 안정자 부분군의 축약 군 C*-대수의 K-이론과 연관짓는 것.
• 반군 C*-대수가 안정자 부분군의 축약 군 C*-대수 직합과 KK-동치가 되는 조건을 설정하는 것.
• 알제브라적 수론에서 유래한 반군, 특히 정수의 환에서의 ax+b-반군에 결과를 적용하는 것.
• 이러한 C*-대수의 이상 구조와 순수 무한성, 실수 계수 0 등의 성질을 분석하는 것.

제안 방법

• 왼쪽 오어 반군 $ P $의 환경군 $ G $를 고려하여, 반군 C*-대수 $ C^*_{r}(P) $ 를 축약 교차곱 $ D times_r G $ 의 전면 모서리로 통합한다.
• 왼쪽 오어 조건을 이용해, 구성 가능한 우측 이상 $ X \neq \text{empty} $ 와 관련된 프로젝션 $ \big\bracevert E_X \big\bracevert $ 로 생성된 교환 C*-대수 $ D $ 를 구성한다.
• 만일 $ G $ 가 계수를 가진 바움-콘스 컨제크처를 만족한다면, 일반적인 K-이론 정리에 따라 $ K_*(D times_r G) $ 를 $ K_*(c_0(I) times_r G) $ 로 축소한다.
• 불변성 이론을 활용하여 $ c_0(I) \rtimes_r G $ 가 직합 $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 의 모리타 동치임을 보인다. 여기서 $ G_X $ 는 $ X $ 의 안정자이다.
• 더 강력한 바움-콘스 컨제크처의 버전을 가정할 경우, $ C^*_{r}(P) $ 와 $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 사이의 KK-동치를 확립한다.
• 반군 C*-대수 $ C^*_{r}(P) $ 의 대각선 사상으로 K-호모로지에 링 구조를 도입하여 향후 분류를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 오어 반군의 왼쪽 정규 표현에 의해 생성된 축약 C*-대수의 K-이론은 어떻게 군 C*-대수의 관점에서 계산할 수 있는가?
• RQ2 반군 C*-대수 $ C^*_{r}(P) $ 가 안정자 부분군의 축약 군 C*-대수 직합과 KK-동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 수체의 정수환에서의 ax+b-반군 C*-대수의 K-이론적 구조는 어떠한가?
• RQ4 반군 C*-대수 $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ 는 실수 계수 0을 가지는가? 그리고 관련된 환 C*-대수의 K-이론과 비교해보면 어떠한가?
• RQ5 ax+b-반군의 왼쪽 및 오른쪽 정규 표현에 의해 생성된 K-이론적 불변량은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 가산 왼쪽 오어 반군 $ P $ 가 독립적인 구성 가능한 우측 이상을 가지며, 바움-콘스 컨제크처를 계수와 함께 만족하는 군 $ G $ 를 갖는 경우, $ C^*_{r}(P) $ 의 K-이론은 $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} K_*(C^*_{r}(G_X)) $ 와 동형이며, 여기서 $ G_X $ 는 $ G $-작용 하에서 $ X \neq \text{empty} $ 의 안정자이다.
• 만일 $ G $ 가 바움-콘스 컨제크처의 강력한 형태를 만족한다면, $ C^*_{r}(P) $ 는 $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ 와 KK-동치가 되며, 이는 강력한 구조적 유사성을 의미한다.
• 수체의 정수환 $ R $ 에서의 ax+b-반군 $ R \rtimes R^\times $ 에 대해, $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ 는 순수 무한성과 이상 성질을 갖는다.
• $ K_0(C^*_{r}(R \rtimes R^\times)) $ 는 유한 생성되지만, 관련된 환 C*-대수 $ \frak{A}[R] $ 의 $ K_0 $ 는 유한 생성이 아니며, 이는 몫 사상이 $ K_0 $ 에서 전성사상이 아님을 의미한다.
• $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ 는 실수 계수 0을 가지지 않으며, 이는 $ K_0 $-상승 불가능성과 파스케-로르담의 결과에 의해 입증된다.
• 반군 C*-대수 $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ 의 오른쪽 정규 표현에 의해 생성된 C*-대수와 왼쪽 표현의 것은 다르지만, 동일한 K-이론 불변량을 공유한다.