[논문 리뷰] On the kernel of the push-forward homomorphism between Chow groups

Kalyan Banerjee, Jaya Nn Iyer|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 프로젝티브한 곡선 $C$ 의 아벨 다양체 $J(C)$ 에 포함된 특수한 앰플 덮개 $H_C$ (선형적으로 등가한 $n\Theta$ 와) 의 닫힌 포함에 의해 유도되는 유리 차우 군 위의 푸시포워드 준동형사상이 모든 $k \geq 0$ 에 대해 자명한 핵을 가짐을 증명한다. 증명은 고차 차우 군의 국소화 수열과 곡선의 대칭 거듭제곱에 대한 콜리노의 정리의 확장에 기반한다.

ABSTRACT

In this note we prove that the kernel of the push-forward homomorphism on $d$-cycles modulo rational equivalence, induced by the closed embedding of an ample divisor linearly equivalent to some multiple of the theta divisor inside the Jacobian variety $J(C)$ is trivial. Here $C$ is a smooth projective curve of genus $g$.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 프로젝티브한 다양체에 포함된 앰플 덮개의 닫힌 포함에 의해 유도되는 유리 차우 군 위의 푸시포워드 준동형사상의 핵을 조사하는 것.
• 테타 덮개를 가진 아벨 다양체에서 노리와 파라냐파의 차우 군에 대한 추측의 이중형을 검증하는 것.
• 아벨 다양체 $J(C)$ 에서 테타 덮개의 배수와 선형적으로 등가한 덮개에 대해 $k$-사이클 위의 푸시포워드 사상의 단사성을 확립하는 것.
• 콜리노의 정리(곡선의 대칭 거듭제곱에 관한 것)를 고차 차우 군과 열린 부분집합으로 확장하여 주요 증명을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 고차 차우 군의 국소화 정확수열을 사용하여 갈루아 커버 $\tilde{C} \to C$ 의 아벨 다양체의 $G$-고정 부분다양체 위의 사이클 클래스를 분석한다.
• 콜리노의 정리를 적용하여 $m \leq n$ 인 경우 대칭 거듭제곱 포함 $\mathrm{Sym}^m C \hookrightarrow \mathrm{Sym}^n C$ 에 대한 $k$-사이클 위의 푸시포워드 사상의 단사성을 증명한다.
• 콜리노의 결과를 대칭 거듭제곱의 고차 차우 군과 그 열린 부분집합으로 확장하여, 고차 차우 군 수준에서의 당김 사상 $\rho^{s*}$ 가 잘 정의됨을 확립한다.
• 경계 사상 $\partial_i^*$ 와 당김 사상 $\rho^{s*}$ 를 사용하여 대칭 거듭제곱과 그 여집합의 고차 차우 군을 포함하는 가환 다이어그램을 구성하여 사이클 클래스를 분석한다.
• 대칭 거듭제곱 차수에 대한 귀납법을 사용하여 고차 차우 군 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$ 에 대한 푸시포워드 사상 $i_{m,n*}^s$ 의 단사성을 증명한다.
• 고차 차우 군에서 $\mathrm{Sym}^{m-1}C$ 에 대한 푸시포워드의 단사성을 이용하여 $\mathrm{Sym}^m C$ 에서의 사이클의 자명성을 유도함으로써, 주요 결과인 $H_C \subset J(C)$ 에 도달한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수한 앰플 덮개 $H_C$ 가 갈루아 커버 $\tilde{C} \to C$ 에서의 테타 덮개의 제한으로서 유도될 때, 아벨 다양체 $J(C)$ 에 포함된 $H_C$ 의 포함에 의해 유도되는 유리 차우 군 위의 푸시포워드 준동형사상은 단사적인가?
• RQ2 특히 $H_C$ 가 $J(\tilde{C})$ 에서의 테타 덮개의 역상으로서 유도될 경우, $J(C)$ 에서 $n\Theta$ 와 선형적으로 등가한 덮개에 대해 $k$-사이클 위의 푸시포워드의 단사성이 성립하는가?
• RQ3 곡선의 대칭 거듭제곱에 관한 콜리노의 정리는 고차 차우 군과 대칭 거듭제곱의 열린 부분집합으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 $H_C$ 와 같은 덮개에 대해 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ 의 푸시포워드 사상의 핵의 구조는 어떠한가?
• RQ5 고차 차우 군 위의 푸시포워드의 단사성은 아벨 다양체와 그 대칭 거듭제곱의 기하학과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 0$ 에 대해, 갈루아 커버 $\tilde{C} \to C$ 에서의 테타 덮개의 제한으로서 유도되는 $|n\Theta|$ 의 매끄럽고 기약인 앰플 덮개 $H_C$ 에 대해, 푸시포워드 준동형사상 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ 의 핵은 자명하다.
• 모든 $m \leq n$ 과 모든 $s \geq 0$ 에 대해 고차 차우 군 위의 푸시포워드 사상 $i_{m,n*}^s: \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$ 는 단사적이다.
• 열린 부분집합에 대한 고차 차우 군 위의 당김 사상 $\rho^{s*}$ 는 잘 정의되어 있으며, 특히 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C \setminus W, s)$ 에서 $\mathrm{CH}^*(W_0(m), s)$ 로의 사상에서 성립한다. 여기서 $W_0(m)$ 은 대칭 거듭제곱 내의 여집합이다.
• 고차 차우 군에서 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^{m-1}C, s)$ 에 대한 푸시포워드의 단사성은 국소화 정확수열을 통해 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s)$ 에 대한 단사성으로 이어지며, 이를 통해 귀납적 증명이 가능해진다.
• 콜리노의 정리를 고차 차우 군과 대칭 거듭제곱의 열린 부분집합으로 확장함으로써, 아벨 다양체에서의 주요 결과를 증명하는 데 핵심적인 기술적 도구를 확보하였다.
• very general 한 $|n\Theta|$ 의 덮개에 대해서는 $CH_0$ 에서의 단사성이 기대되지 않으며, C. 보이신이 지적한 lin, 그러나 갈루아 커버를 통해 유도된 특수한 $H_C$ 에 대해서는 결과가 성립한다.