[논문 리뷰] On the key exchange with nonlinear polynomial maps of stable degree

Vasyl Ustimenko, Aneta Wróblewska|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 10.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 크레모나 군에서 안정된 차수를 갖는 비선형 다항식 사상에 기반한 새로운 키 교환 프로토콜을 제안한다. 기호 계산을 활용하여 이산 로그 공격에 저항하며, 차수 3인 명시적 변환 가중치를 구성하여 적대자에게 기반 요소의 순서가 계산적으로 불가능하게 유지되도록 한다. C++를 활용한 효율적 구현을 통해 다항식 시간 암호화와 표준 방법 기반의 지수 시간 해독 분석을 실현한다.

ABSTRACT

We say that the sequence $g_n$, $n\ge 3$, $n ightarrow \infty$ of polynomial transformation bijective maps of free module $K^n$ over commutative ring $K$ is a sequence of stable degree if the order of $g_n$ is growing with $n$ and the degree of each nonidentical polynomial map of kind ${g_n}^k$ is an independent constant $c$. A transformation $b=τ {g_n}^k τ^{-1}$, where $τ$ is affine bijection, $n$ is large and $k$ is relatively small, can be used as a base of group theoretical Diffie-Hellman key exchange algorithm for the Cremona group $C(K^n)$ of all regular automorphisms of $K^n$. The specific feature of this method is that the order of the base may be unknown for the adversary because of the complexity of its computation. The exchange can be implemented by tools of Computer Algebra (symbolic computations). The adversary can not use the degree of righthandside in $b^x=d$ to evaluate unknown $x$ in this form for the discrete logarithm problem. In the paper we introduce the explicit constructions of sequences of elements of stable degree for cases $c=3$ for each commutative ring $K$ containing at least 3 regular elements and discuss the implementation of related key exchange and public key algorithms.

연구 동기 및 목표

• 비선형 다항식 사상의 안정된 차수를 활용하여 이산 로그 공격에 저항하는 안전한 키 교환 프로토콜을 개발한다.
• 공유된 환에서 최소한 세 개의 정상 원소를 갖는 가환환에서 차수 3(=c)가 일정한 군 원소의 명시적 가중치를 구성한다.
• 다항식 사상의 차수가 공개되어 있음에도 불구하고 기반 변환의 순서가 적대자에게 알려지지 않도록 보장한다.
• 수치적 수학적 가정에 의존하지 않고 기호 계산 도구를 활용하여 실용적인 구현을 가능하게 한다.
• 암호화 및 해독 분석의 계산 복잡도를 분석하여, 합법 사용자에게는 다항식 시간 내에 가능하고 적대자에게는 지수 시간이 소요됨을 보여준다.

제안 방법

• 비선형 이항 다항식 사상의 차수 3를 활용하여 애자일 변환의 공역을 통해 크레모나 군 내에서 안정된 차수를 갖는 원소를 생성한다.
• 모든 항등원이 아닌 거듭제곱 $ g_n^k $ 가 정확히 차수 3를 갖는 $ S_{p^n} $ 내의 변환 시퀀스 $ g_n $ 를 정의하여 안정된 차수를 보장한다.
• 제한된 그래프 준동형사상 $ \tilde{DD}(n,K) $ 와 제한된 군 $ Q(n,K) $ 의 사영 극한을 통해 무한 순서와 높은 지름을 확보한다.
• 공개 규칙는 $ y_i = F_i(x_1, \dots, x_n) $ 로 정의되며, 각 $ F_i $ 는 $ F_q $ 위에서 $ n $ 개의 변수를 갖는 차수 3의 다항식이다.
• 아핀 변환 $ T_1, T_2 $ 와 비선형 사상 $ N_l $ 를 조합하여 공개 키를 생성하며, $ A $, $ B $, $ c $, $ d $ 는 저비용 계산을 위해 선택된다.
• C++를 사용하여 최적화된 행렬 및 벡터 연산을 구현하여 다항식 시간 암호화와 그뢰브너 기반 지수 시간 해독 분석을 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한 세 개의 정상 원소를 갖는 가환환에서 차수 3인 비선형 다항식 사상의 명시적 가중치를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 사상은 이산 로그 공격에 저항하는 안전한 키 교환 프로토콜을 설계하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 기호 계산에서 차수 3의 다항식 사상을 사용할 경우 암호화 및 해독 분석의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 다항식 사상의 차수가 공개되어 있음에도 불구하고 기반 변환의 순서가 적대자에게 알려지지 않을 수 있는가?
• RQ5 변수 수와 평문 크기가 증가함에 따라 프로토콜의 성능은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 논문은 최소한 세 개의 정상 원소를 갖는 임의의 가환환 $ K $ 에 대해 차수 3의 안정된 변환의 명시적 가중치를 구성한다.
• 제한된 군 $ Q(n,K) $ 의 사영 극한으로 정의된 군 $ Q(K) $ 는 무한 순서의 원소를 포함하여 장기적인 암호 키를 보장한다.
• $ \tilde{DD}(n,K) $ 내의 최소 사이클 길이는 $ \lfloor (n+5)/2 \rfloor $ 이하로 제한되며, 이는 높은 지름과 사이클 탐색 공격에 대한 저항성을 의미한다.
• 공개 키 생성 시간은 $ n $ 에 대해 대략 제곱형으로 증가하며, $ n=10 $ 에서 약 15ms, $ n=100 $ 에서 약 4.9초까지 증가한다. ($ p=60 $)
• 암호화 시간은 평문 크기에 따라 크게 증가한다: $ n=20 $ 에서 약 16ms, $ n=100 $ 에서 약 4.9초까지 증가하며, 이는 필드 크기에 따라 달라진다.
• 그뢰브너 기반 해독 분석은 지수 시간 $ O(3^{n^4}) $ 이 소요되어 큰 $ n $ 에서는 실현 불가능하며, 다항식 시간 암호화와는 대비된다.