[논문 리뷰] On the Kirwan map for moduli of Higgs bundles

Emily Cliff, Thomas Nevins외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재구성된 리 군 G의 중심 Z(G)가 이산일 때, G-_bundle의 코homology에서 semistable G-Higgs bundle의 코homology로 가는 Kirwan 사상이 전성일 수 없음을 증명한다. 군 G의 동차 코homology에 대한 Borel-Quillen 스타일의 국소화 정리에 기반하여, Higgs bundle의 모듈리 공간의 변형 코homology 및 교차 코homology 군이 유한군 Bun(π₀(Z), C)의 비자명한 표현을 포함하고 있음을 보이며, 이러한 표현들은 G-_bundle의 코homology로부터 올라오지 못하므로 Kirwan 사상의 전성 실패를 차단한다.

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth complex projective curve and $G$ a connected complex reductive group. We prove that if the center $Z(G)$ of $G$ is disconnected, then the Kirwan map $H^*\big(\operatorname{Bun}(G,C),\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$ from the cohomology of the moduli stack of $G$-bundles to the moduli stack of semistable $G$-Higgs bundles, fails to be surjective: more precisely, the "variant cohomology" (and variant intersection cohomology) of the stack $\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}}$ of semistable $G$-Higgs bundles, is always nontrivial. We also show that the image of the pullback map $H^*\big(M_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$, from the cohomology of the moduli space of semistable $G$-Higgs bundles to the stack of semistable $G$-Higgs bundles, cannot be contained in the image of the Kirwan map. The proof uses a Borel-Quillen--style localization result for equivariant cohomology of stacks to reduce to an explicit construction and calculation.

연구 동기 및 목표

• G-bundle의 모듈리 스택에서 semistable G-Higgs bundle의 코homology로 가는 Kirwan 사상이 전성일 조건을 규명하는 것.
• 성분군 π₀(Z(G))가 Kirwan 사상의 전성 실패를 방해하는 데 미치는 영향을 조사하는 것.
• Z(G)가 이산일 경우 Higgs bundle의 모듈리 공간에서 비자명한 불변 및 변형 코homology가 존재함을 확립하는 것.
• 등급 코hom로 구조와 혼합 히오지 이론을 이용하여 Higgs bundle의 모듈리 스택에서의 코hom로 구조를 확장하는 것.

제안 방법

• Gₘ-작용에 대한 고정점에 대한 계산으로 간소화하기 위해 스택의 등급 코homology에 대한 Borel-Quillen 스타일의 국소화 정리를 적용하는 것.
• G-bundle P₀와 관련된 Higgs 쌍 (P₀, θ₀)을 구성하여 Bun(Z, C)를 Mss_Higgs(G, C)의 Gₘ-작용 고정점에 대한 닫힌 매장으로 실현하는 것.
• Higgs bundle의 스택 및 공간에 대한 Bun(π₀(Z), C)의 작용을 이용하여 Kirwan 사상의 이미지에 있지 않은 비자명한 코homology 클래스를 탐지하는 것.
• Gₘ-등급 코hom로에 대한 Leray 스펙트럴 시퀀스를 분석하여 고정점의 코homology를 총 코homology와 연결하고, H∗_Gₘ(pt, Q)의 순수 히오지 구조를 활용하는 것.
• 정규 표현 Q[Bun(π₀(Z), C)]가 코homology의 순수 부분에 나타남을 증명하여 전성 실패를 암시하는 것.
• 고정점이 유리적으로 매끄러운 영역에 있으므로, colimit가 고정 스택의 특이 코homology로 줄어들게 하여, 교차 코hom로에 동일한 추론을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G에 어떤 조건이 성립할 경우, Bun(G, C)에서 Mss_Higgs(G, C)로 가는 Kirwan 사상이 전성일 수 있는가?
• RQ2 성분군 π₀(Z(G))는 G-Higgs bundle의 모듈리 스택 및 공간의 코homology에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 변형 코homology 및 변형 교차 코homology는 Kirwan 사상의 전성 실패를 탐지할 수 있는가?
• RQ4 정규 표현 Q[Bun(π₀(Z), C)]는 Higgs bundle의 모듈리 공간의 코homology에 대한 혼합 히오지 구조의 순수 부분에 나타나는가?
• RQ5 Higgs 모듈리 스택에 대한 Gₘ-작용은 G-bundle의 스택에서 보이지 않는 숨겨진 코hom로적 구조를 어떻게 드러내는가?

주요 결과

• π₀(Z(G))가 자명하지 않으면, 변형 코hom로 H∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant는 Bun(π₀(Z), C)의 정규 표현의 몫 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q를 포함한다.
• 유사하게, 변형 교차 코hom로 IH∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant 역시 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q를 포함한다.
• 이러한 비자명한 변형 코hom로 클래스의 존재로 인해, 모든 η ∈ η₀ + π₁(Z₀)에 대해 Kirwan 사상 κη는 전성일 수 없다.
• 끌임 사상 p∗η: H∗(Mss_Higgs(G, C)η) → H∗(Mss_Higgs(G, C)η)의 이미지는 Kirwan 사상 κ∗η의 이미지에 포함되지 않으며, 이는 코hom로적 장벽을 확인한다.
• 표현 Q[Bun(π₀(Z), C)]는 H∗(Mss_Higgs(G, C), Q)의 혼합 히오지 구조의 순수 부분에 나타나므로, Kirwan 사상이 순수 코hom로에 전성일 수 없음을 보여준다.
• 동일한 결과는 모듈리 공간 Mss_Higgs(G, C)에도 적용되며, Bun(π₀(Z), C)는 그 코hom로에 비자명하게 작용하지만, H∗(Bun(G, C), Q)에는 자명하게 작용한다.