[논문 리뷰] On the Kodaira dimension of the moduli space of hyperelliptic curves with marked points

Irene Schwarz|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 종수 $g$의 안정적 초타원곡선에 $n$개의 마킹된 점을 가진 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$의 표준 divisor 클래스를 계산하며, $n = 4g+6$일 때는 효과적임을 보이고 $n \geq 4g+7$일 때는 크기가 크다는 것을 보여준다. 이 결과는 $n = 4g+6$일 때 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$의 칸오다르 차원이 음이 아닌지를, $n \geq 4g+7$일 때는 일반 유형임을 시사하는 추측을 뒷받질하며, 이후 바르로스와 مول라인의 동반 논문에서 증명되었다.

ABSTRACT

It is known that the moduli space $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ of genus $g$ stable hyperelliptic curves with $n$ marked points is uniruled for $n \leq 4g+5$. In this paper we consider the complementary case. We calculate the canonical divisor of $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ and show that it is effective for $n=4g+6$ and big for $n\leq 4g+7$. This leads us to conjecture that $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ has non-negative Kodaira dimension for $n = 4g+6$ and is of general type for $n \geq 4g+7$.

연구 동기 및 목표

• 안정적 초타원곡선에 $n$개의 마킹된 점을 가진 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$의 비유계 기하학을 규명하는 것.
• 표준 divisor 클래스를 유리 Chow 군 $\mathrm{CH}^1(\overline{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 안에서 계산하는 것.
• 특히 $n \leq 4g+5$일 때 알려진 uniruledness 결과의 보완 사례에서 표준 divisor가 효과적 또는 크기가 큰지 분석하는 것.
• $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$가 $n = 4g+6$일 때 비음성 칸오다르 차원을 가지며 $n \geq 4g+7$일 때 일반 유형임을 시사하는 추측에 대한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 타우토로지 클래스 $\psi_i$, $\eta_{i,S}$, $\delta_{i,S}$, $\delta_{0,S}$를 사용하여 스택 $\overline{H}_{g,n}$의 표준 divisor 클래스를 유도한다.
• 스택의 표준 클래스를 $-\sum_{i=1}^g \delta_{i,\emptyset}$ 항을 더하여 계수 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$로 변환한다.
• 표본 $\overline{\mathcal{M}}_{g,g}$ 에서 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$로의 $W_g$의 pullback의 가중합으로 구성된 $W$를 사용한다. 계수는 이항합으로 유도된다.
• 표준 divisor $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$를 선형 조합 $\epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$로 표현하며, 여기서 $E$는 경계 성분을 수거한다.
• 각 계수의 부호를 분석하여 $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$의 효과성과 크기의 크기를 결정한다.
• $\psi = \sum \psi_i$의 양성과 정교한 계수 추정을 적용하여 $n \geq 4g+7$일 때 양성임을 보이고, $n = 4g+6$일 때 효과적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 divisor $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$가 $n > 4g+5$일 때 효과적 또는 크기가 큰가?
• RQ2 $\mathrm{CH}^1(\overline{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 표준 divisor의 정확한 클래스는 무엇인가?
• RQ3 표준 divisor는 $\psi$-클래스와 효과적 경계 divisor의 양성 조합으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 표준 divisor의 크기 또는 효과성은 비음성 칸오다르 차원 또는 일반 유형 행동을 암시하는가?
• RQ5 스택 $\overline{H}_{g,n}$의 미미분성은 표준 divisor 계산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 표준 divisor $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$는 $n = 4g+6$일 때 효과적이다.
• 표준 divisor $K_{\overline{\mathcal{H}}_{g,n}}$는 $n \geq 4g+7$일 때 크기가 크다.
• $n = 4g+6$이고 $\epsilon = 0$일 때 $\eta_0$의 계수는 0이 되며, 이는 효과성의 임계점임을 나타낸다.
• $n \geq 4g+7$이고 $g \geq 2$일 때 $\delta_{0,\{1,\ldots,n\}}$의 계수는 양수이며, 크기의 크기에 기여한다.
• $i \geq 1$인 $\eta_{i,S}$ 및 $\delta_{i,S}$의 모든 계수는 표준 divisor 분해에서 양수이다.
• $K = \epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$의 분해는 경계 성분의 부호 분석을 통해 $K$가 효과적이고 크기가 크다는 것을 확인한다.