[논문 리뷰] On the Korn interpolation and second inequalities for shells with non-constant thickness

Davit Harutyunyan|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 14.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 경계 조건이나 정규화 조건 없이 두께가 일정하지 않은 얇은 껍질에서 벡터장에 대한 渐近적으로 최적의 Korn 보간 및 두 번째 부등식을 수립한다. 상수는 두께 $ h \to 0 $일 때 $ h $ 비례로 척도가 조정되며, 이는 $ \mathbb{R}^3 $에서 일반적인 얇은 도메인에 대해 고전적 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수에 대한 첫 번째 완전한 渐近적 특성화를 제공한다. Korn 보간 부등식은 기울기 추정을 Poincaré 유형의 장 자체에 대한 추정으로 환원시켜 주므로, 기하학적 강성 추정을 향상시킨다.

ABSTRACT

We consider shells of non-constant thickness in three dimensional Euclidean space around surfaces which have bounded principal curvatures. We derive Korn's interpolation (or the so called first and a half (The inequality first introduced in [Gra.Har.1])) and second inequalities on that kind of domains for $\Bu\in H^1$ vector fields, imposing no boundary or normalization conditions on $\Bu.$ The constants in the estimates are asymptotically optimal in terms of the domain thickness $h,$ with the leading order constant having the scaling $h$ as $h o 0.$ This is the first work that determines the asymptotics of the optimal constant in the classical Korn second inequality for shells in terms of the domain thickness in almost full generality, the inequality being fulfilled for practically all thin domains $\Omega\in\mathbb R^3$ and all vector fields $\Bu\in H^1(\Omega).$ Moreover, the Korn interpolation inequality is stronger than Korn's second inequality, and it reduces the problem of estimating the gradient $ abla\Bu$ in terms of the symmetrized gradient $e(\Bu)$, in particular any linear geometric rigidity estimates for thin domains, to the easier problem of proving the corresponding Poincare-like estimates on the field $\Bu$ itself.

연구 동기 및 목표

• 경계 조건이나 정규화 조건 없이 $ \mathbb{R}^3 $에서 두께가 일정하지 않은 껍질에 대해 Korn의 보간 및 두 번째 부등식을 수립하기 위해.
• 도메인 두께 $ h \to 0 $일 때 고전적 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수가 $ h $에 대해 어떻게 渐近적으로 행동하는지 파악하기 위해.
• 비균일한 두께와 유계 주곡률을 가진 도메인을 포함한 광범위한 얇은 도메인에 대해 Korn 유형 부등식의 적용 가능성을 확장하기 위해.
• Korn 보간 부등식이 두 번째 부등식보다 더 강력한 프레임워크를 제공하며, $ \nabla \mathbf{u} $의 추정을 $ \mathbf{u} $ 자체에 대한 Poincaré 유사 추정으로 환원함을 보여주기 위해.
• 이러한 도메인에 대해 처음으로 주어진 상수의 주요 항 척도가 $ h $ 비례임을 渐近적으로 최적화함을 달성하기 위해.

제안 방법

• 얇은 껍질의 기하학적 구조를 활용하여 대칭 기울기 $ e(\mathbf{u}) $와 전체 기울기 $ \nabla \mathbf{u} $ 간의 관계를 분석함으로써 Korn 보간 부등식을 유도한다.
• 기하학적 분석 및 함수 부등식 기법을 적용하여, 정규화나 경계 제약 조건 없이 $ \|\nabla \mathbf{u}\|_{L^2} $ 를 $ \|e(\mathbf{u})\|_{L^2} $ 에 대해 추정한다.
• 껍질의 중간 표면의 리만 기하학을 활용하며, 주곡률가 유계임을 가정하여 도메인 내 곡률에 의한 왜곡을 제어한다.
• 두께 $ h \to 0 $일 때의 渐近적 분석을 통해 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수의 주요 항 척도를 결정하며, 이가 $ h $ 비례로 척도 조정됨을 보여준다.
• Korn 보간 부등식을 다리로 삼아 전체 기울기 추정 문제를 $ \mathbf{u} $ 자체에 대한 Poincaré 유형 부등식 증명 문제로 환원한다.
• 시험 장을 구성하고 문헌에 알려진 하한과 비교하여 $ h $-척도의 최적성은 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두께가 일정하지 않은 얇은 껍질에 대해 고전적 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수의 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ2 경계 조건이나 정규화 조건 없이 얇은 껍질의 벡터장에 대해 Korn 보간 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수 척도가 두께 $ h $에 따라 $ h \to 0 $의 극한에서 어떻게 의존하는가?
• RQ4 Korn 보간 부등식은 기하학적 강성 분석의 분석을 어느 정도 단순화시킬 수 있는가?
• RQ5 주곡률가 유계인 일반적인 얇은 껍질에 대해 Korn 두 번째 부등식의 주요 항 상수의 $ h $-척도는 渐近적으로 최적인가?

주요 결과

• 경계 조건이나 정규화 조건 없이 두께가 일정하지 않은 얇은 껍질에서 $ \mathbf{u} \in H^1 $ 인 벡터장에 대해 Korn 보간 부등식이 수립된다.
• Korn 두 번째 부등식의 최적 상수는 $ h \to 0 $일 때 $ h $ 비례로 渐近적으로 척도 조정되며, 이 척도가 渐近적으로 최적임이 입증된다.
• Korn 보간 부등식은 $ e(\mathbf{u}) $ 에 대해 $ \nabla \mathbf{u} $ 를 추정하는 문제를 $ \mathbf{u} $ 자체에 대한 Poincaré 유사 추정 문제로 환원하여, 기하학적 강성 분석의 분석을 단순화시킨다.
• 결과는 비균일한 두께와 유계 주곡률을 가진 도메인을 포함한 $ \mathbb{R}^3 $의 광범위한 얇은 도메인에 적용 가능하다.
• 이 연구는 이러한 도메인에 대해 고전적 Korn 두 번째 부등식의 최적 상수의 渐近적 행동을 거의 전반적으로 처음으로 규명한 작업이다.
• Korn 두 번째 부등식의 주요 항 상수는 $ h $-척도를 달성하여, $ h \to 0 $의 극한에서 더 나은 척도가 불가능함을 확인한다.