[논문 리뷰] On the Krull dimension of rings of semialgebraic functions

José F. Fernando, J. M. Gamboa|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 18.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실폐쇄체 위의 반대칭대수집합 M에서 연속 반대칭대수함수의 환과 그 유계부분환의 크룰 차원이 M의 차원과 일치함을 증명한다. 소수 이상수의 '반대칭대수적 깊이'라는 새로운 개념을 도입하여, 실스펙트럼을 피하는 원시적인 기하적 증명을 제시함으로써, 점 p ∈ M에서 최대 이상수의 높이가 p에서 M의 국소 차원과 같고, z-이상수의 경우 반대칭대수적 깊이가 실폐쇄체 R 위의 몫체의 초월차수와 일치함을 보인다.

ABSTRACT

Let $R$ be a real closed field and let ${\mathcal S}(M)$ be the ring of (continuous) semialgebraic functions on a semialgebraic set $M\subset R^n$ and let ${\mathcal S}^*(M)$ be its subring of bounded semialgebraic functions. In this work we introduce the concept of \em semialgebraic depth \em of a prime ideal $\gtp$ of ${\mathcal S}(M)$ in order to provide an elementary proof of the finiteness of the Krull dimension of the rings ${\mathcal S}(M)$ and ${\mathcal S}^*(M)$, inspired in the classical way of doing to compute the dimension of a ring of polynomials on a complex algebraic set and without involving the sophisticated machinery of real spectra. We also show that $\dim{\mathcal S}(M)=\dim{\mathcal S}^*(M)=\dim M$ and we prove that in both cases the height of a maximal ideal corresponding to a point $p\in M$ coincides with the local dimension of $M$ at $p$. In case $\gtp$ is a prime \em $z$-ideal \em of ${\mathcal S}(M)$, its semialgebraic depth coincides with the transcendence degree over $R$ of the real closed field $\qf({\mathcal S}(M)/\gtp)$.

연구 동기 및 목표

• 실폐쇄체 위의 반대칭대수집합에서 연속 반대칭대수함수의 환의 유한한 크룰 차원을 확립하는 것.
• 그러한 환의 크룰 차원이 기저 반대칭대수집합 M의 차원과 일치함을 보이는 것.
• 복잡한 실스펙트럼 기계를 사용하지 않고 차원의 유한성을 원시적으로 증명하는 것.
• 점에서의 최대 이상수의 높이를 M의 국소 차원에 따라 특성화하는 것.
• z-이상수의 반대칭대수적 깊이가 R 위의 몫체의 초월차수와 어떻게 관련되는지 밝히는 것.

제안 방법

• 영집합의 차원성 부재 상황에서 대수적 차원의 대체로 반대칭대수함수 환 내 소수 이상수의 '반대칭대수적 깊이' 개념을 도입한다.
• [0,1]^d의 반대칭대수적 임베딩을 이용해 함수 환 내 소수 이상수의 사슬을 구성한다.
• 임베딩된 부분다양체 T에 대해 S(M)에서 S(T)로의 제약환형사상 적용을 통해 T에서 M으로 이상수 사슬을 올리는 데 사용한다.
• M의 컴팩티피케이션을 이용해 이상수 사슬을 연장하고 더 큰 반대칭대수집합의 이상수와 연결한다.
• f1f2 ≡ 0 이고 f2(p) ≠ 0 이면 f1|X ∈ P0' 임을 이용해 제로집합을 통한 이상수의 깊이를 제한한다.
• [DK1]에서 확립된 lin, M의 컴팩티피케이션 X에 대한 S(X)에서 S(T)로의 제약사상의 전사성을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실폐쇄체 위의 반대칭대수집합 M에서 연속 반대칭대수함수의 환의 크룰 차원은 무엇인가?
• RQ2 S(M) 또는 S*(M)의 크룰 차원은 M의 위상적 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 실스펙트럼이나 고급 모델이론적 도구를 사용하지 않고 크룰 차원을 계산할 수 있는가?
• RQ4 점 p ∈ M에서 최대 이상수의 높이와 M의 p에서의 국소 차원 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 z-이상수의 반대칭대수적 깊이가 R 위의 몫체의 초월차수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• S(M)와 S*(M)의 크룰 차원은 모두 유한하며, 반대칭대수집합 M의 차원과 일치한다.
• S*(M)에서 점 p ∈ M에 대응하는 최대 이상수 mp의 높이는 p에서 M의 국소 차원과 같다.
• S(M)의 z-이상수 p에 대해, p의 반대칭대수적 깊이는 몫체 qf(S(M)/p)의 R 위에서의 초월차수와 일치한다.
• 실스펙트럼을 피하고 반대칭대수적 임베딩과 컴팩티피케이션을 통한 기하적 구성만을 사용하여 증명이 이루어진다.
• M로의 [0,1]^d로부터의 제약을 통한 소수 이상수 사슬은 크룰 차원의 하한을 제공하며, 깊이 추론을 통한 상한과 일치한다.
• 반대칭대수적 깊이 함수는 S(M)와 S*(M) 내 소수 이상수 사슬의 길이를 제어하는 기하적 불변량을 제공한다.