[논문 리뷰] On the lack of density of Lipschitz mappings in Sobolev spaces with Heisenberg target

Noel DeJarnette, Piotr Hajłasz외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 매핑이 Sobolev 공간 $W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ 내에서 밀도를 이룬다는 것을 보이며, 이는 $")\dim M \leq n$일 때에만 성립하며, $")\dim M \geq n+1$ 이고 $n \leq p < n+1$일 때는 밀도가 성립하지 않음을 증명한다. 핵심 메커니즘은 Heisenberg 군 $")\mathbb{H}^n$ 내에 $")\mathbb{S}^n$의 수평적이고 이중 리프시츠 임베딩을 구성하는 것으로, 이러한 임베딩은 리프시츠 호모토피 군이 비자명한 위상적 성질을 포착하여 리프시츠 근사화를 방해한다.

ABSTRACT

We study the question: when are Lipschitz mappings dense in the Sobolev space $W^{1,p}(M,\mathbf{H}^n)$? Here $M$ denotes a compact Riemannian manifold with or without boundary, while $\mathbf{H}^n$ denotes the $n$th Heisenberg group equipped with a sub-Riemannian metric. We show that Lipschitz maps are dense in $W^{1,p}(M,\mathbf{H}^n)$ for all $1\le p

연구 동기 및 목표

• Heisenberg 군을 타깃으로 하는 Sobolev 공간에서 리프시츠 매핑의 밀도 조건을 규명하는 것.
• 수평 임베딩의 기하학을 통해 $W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ 내에서 리프시츠 근사화의 위상적 장애를 조사하는 것.
• 특히 $")\mathbb{H}^n$에 대해 리프시츠 호모토피 군을 도입하고 연구하는 것.
• 복소기하학과 심플렉틱 기하학을 이용해 $")\mathbb{S}^n$에서 $")\mathbb{H}^n$으로의 수평적 이중 리프시츠 임베딩을 명시적으로 구성하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{S}^n$의 매끄러운 수평 임베딩을 복소 hyperbolic 기하학과 심플렉틱 구조를 이용해 $")\mathbb{H}^n$에 구성하는 것.
• 이러한 임베딩의 존재를 이용해 일부 Sobolev 매핑이 리프시츠 매핑으로 근사화될 수 없음을 보이는 것.
• 도수 이론과 곡선을 따라의 기본정리(적분법)를 적용하여 근사화 수열의 상을 분석하는 것.
• Fubini 정리를 활용해 Sobolev 노름을 원주로 제한하고 오차 항의 $L^\infty$-노름을 통제하는 것.
• Kirszbraun 유형의 확장 정리(Lang–Schroeder)를 적용하여 $")\mathbb{H}^1$에서 $y$-축을 피하는 매핑이 디스크로 리프시츠적으로 확장될 수 있음을 보이는 것.
• Riemannian 성분의 곡률과 완비성 분석을 통해 확장 정리를 정당화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤���트 Riemannian 다양체 $M$에 대해, 리프시츠 매핑이 $W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ 내에서 밀도를 이룬다는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Heisenberg 타깃을 가진 Sobolev 공간에서 리프시츠 근사화의 장애가 되는 위상적 또는 기하학적 요인은 무엇인가?
• RQ3 Spheres의 $")\mathbb{H}^n$으로의 수평 임베딩은 리프시츠 호모토피 군의 비자명성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\mathbb{S}^1$에서 $")\mathbb{H}^1$으로의 리프시츠 매핑 중 $y$-축을 피하는 것은 $")\mathbb{B}^2$로 리프시츠적으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 Sub-Riemannian 구조 $")\mathbb{H}^n$은 리프시츠 매핑의 밀도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 리프시츠 매핑은 $")\dim M \leq n$ 이고 $1 \leq p < \infty$일 때 $W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ 내에서 밀도를 이룬다.
• 리프시츠 매핑은 $")\dim M \geq n+1$ 이고 $n \leq p < n+1$일 때 $W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ 내에서 밀도를 이룬다.
• 비밀도 결과는 $")\mathbb{H}^n$의 $n$번째 리프시츠 호모토피 군이 비자명하다는 것과 동치이다.
• 복소 hyperbolic 기하학과 심플렉틱 기하학을 이용해 $")\mathbb{S}^n$에서 $")\mathbb{H}^n$으로의 수평적 이중 리프시츠 임베딩을 명시적으로 구성하였다.
• $\mathbb{S}^1$에서 $")\mathbb{H}^1$으로의 매핑 중 $y$-축을 피하는 것은 곡률과 완비성의 고려를 통해 $")\mathbb{B}^2$로 리프시츠적으로 확장 가능하다.
• 증명은 모순에 기반한다: 만약 어떤 Sobolev 매핑이 리프시츠 매핑으로 근사화 가능했다면, 그 상은 양의 측도를 가진 $y$-축과 교차해야 하며, 이는 핵심 기하학적 제약을 위반한다.