[논문 리뷰] On the Langlands parameter of a simple supercuspidal representation: odd orthogonal groups

Moshe Adrian|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 p진 체 위의 홀수 정규직교군의 단순 초임계 표현에 대한 비틀린 감마 인자들을 Rankin-Selberg 적분과 함수방정식을 이용하여 계산한다. 이는 그러한 표현들의 랭글랜즈 매개변수를 예측하고, 깊이를 유지하는 추측과 함께 충분히 큰 p에 대해, 그 매개변수가 이차 확장에서의 문자의 유도임을 증명한다. 이는 유사한 GL(2ℓ) 표현의 알려진 매개변수와 일치한다.

ABSTRACT

In this work, we explicitly compute a certain family of twisted gamma factors of a simple supercuspidal representation $π$ of a $p$-adic odd orthogonal group. These computations, together with analogous computations for general linear groups carried out in previous work with Liu, allow us to give a prediction for the Langlands parameter of $π$. If we assume the "depth-preserving conjecture", we prove that our prediction is correct if $p$ is sufficiently large.

연구 동기 및 목표

• SO_{2ℓ+1}(F)의 단순 초임계 표현 π의 랭글랜즈 매개변수를 감마 인자를 이용해 결정하는 것.
• GL_n에서의 감마 인자 계산 방법을 고전군, 특히 홀수 정규직교군으로 확장하는 것.
• 깊이를 유지하는 추측 하에, 예측된 랭글랜즈 매개변수가 유사 표현에 대해 알려진 GL_{2ℓ}의 매개변수와 일치하는 지 확인하는 것.
• π의 감마 인자와 중심 특성이 자명한 GL_{2ℓ}의 단순 초임계 표현과의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• Whittaker 함수 W와 유도 표현의 정칙 섹션 f_s에 대해 Rankin-Selberg 적분 Φ(W, f_s)와 그 정규화된 쌍대 Φ*(W, f_s)를 계산한다.
• GL_1의 희미하게 램프된 특성 τ에 대해 감마 인자 γ(s, π × τ, ψ)를 포함하는 함수방정식을 적용하여 Φ(W, f_s)와 Φ*(W, f_s)를 연결한다.
• Whittaker 함수와 상호작용 연산자의 명시적 계산을 통해 적분을 평가하며, 특히 이중 코스에 대한 지지와 분해에 중점을 둔다.
• 모든 희미하게 램프된 τ에 대해 π_χ^ζ의 계산된 감마 인자 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ)가 GL_{2ℓ}에서 알려진 단순 초임계 표현 σ_χ^ζ의 것과 일치함을 확인한다.
• 깊이를 유지하는 추측을 적용하여, 깊이와 매개변수의 기약성에 기반해 π_χ^ζ의 랭글랜즈 매개변수가 Ind_{W_E}^{W_F} ξ임을 유도한다.
• 기존 결과 [AL14]에 따르면 σ_χ^ζ의 랭글랜즈 매개변수가 Ind_{W_E}^{W_F} ξ임이 알려져 있으므로, π_χ^ζ의 경우에도 동일한 결론을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SO_{2ℓ+1}(F)의 단순 초임계 표현의 랭글랜즈 매개변수는 무엇인가요?
• RQ2 SO_{2ℓ+1}의 표현 π에 대해 γ(s, π × τ, ψ)의 비틀린 감마 인자는 GL_{2ℓ}의 표현과 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ3 깊이를 유지하는 추측은 π의 랭글랜즈 매개변수가 이차 확장에서의 문자의 유도임을 의미하는가요?
• RQ4 Rankin-Selberg 적분의 함수방정식을 사용하여 π의 유도적 상수를 GL_{2ℓ}로의 함자적 상승에서 결정할 수 있는가요?
• RQ5 π에 대한 예측된 랭글랜즈 매개변수는 GL_{2ℓ}에서의 해당 표현에 대한 알려진 매개변수와 일치하는가요?

주요 결과

• Whittaker 함수 지지 분석과 Rankin-Selberg 적분을 이용하여, SO_{2ℓ+1}에서의 π_χ^ζ와 희미하게 램프된 τ ∈ GL_1(F)에 대해 비틀린 감마 인자 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ)를 명시적으로 계산하였다.
• π_χ^ζ의 계산된 감마 인자는 중심 특성이 자명한 GL_{2ℓ}에서의 단순 초임계 표현 σ_χ^ζ의 것과 정확히 일치한다.
• 함수방정식에 의해 Φ*(W, f_s) = q^{1/2 - s} τ(−ϖ) · vol(1 + 𝔪)^{ℓ−1} χ_ζ(g_χ) · vol(𝔪)^{ℓ−1} × 상수로 표현되며, 이는 s와 τ에 대한 명시적 의존성을 보여준다.
• 깊이를 유지하는 추측과 함께 충분히 큰 p에 대해, π_χ^ζ의 랭글랜즈 매개변수는 유일하게 Ind_{W_E}^{W_F} ξ로 결정된다.
• 매개변수 Ind_{W_E}^{W_F} ξ는 기약적이며 깊이 1/(2ℓ)를 가지며, π_χ^ζ의 깊이와 일치함을 보였다.
• 결과적으로 π_χ^ζ의 GL_{2ℓ}(F)로의 함자적 상승이 중심 특성이 자명한 단순 초임계 표현이며, 이를 σ_χ^ζ로 식별함으로써 결과를 확인하였다.