[논문 리뷰] On the learnability of quantum neural networks

Yuxuan Du, Min-Hsiu Hsieh외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 노이즈, 측정 횟수, 회로 깊이가 유용성 경계를 떨어뜨리는 동안 변분 양자 신경망(QNNs)의 학습 가능성에 대한 이론적 기초를 확립한다. 노이즈가 있는 환경에서 QNNs가 미분 가능성을 가지며, 게이트 노이즈에 대해 저항력을 유지함을 보여주며, 이는 NISQ 장치에서 오차가 존재하더라도 양자 우월성이 유지될 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We consider the learnability of the quantum neural network (QNN) built on the variational hybrid quantum-classical scheme, which remains largely unknown due to the non-convex optimization landscape, the measurement error, and the unavoidable gate errors introduced by noisy intermediate-scale quantum (NISQ) machines. Our contributions in this paper are multi-fold. First, we derive the utility bounds of QNN towards empirical risk minimization, and show that large gate noise, few quantum measurements, and deep circuit depth will lead to the poor utility bounds. This result also applies to the variational quantum circuits with gradient-based classical optimization, and can be of independent interest. We then prove that QNN can be treated as a differentially private (DP) model. Thirdly, we show that if a concept class can be efficiently learned by QNN, then it can also be effectively learned by QNN even with gate noise. This result implies the same learnability of QNN whether it is implemented on noiseless or noisy quantum machines. We last exhibit that the quantum statistical query (QSQ) model can be effectively simulated by noisy QNN. Since the QSQ model can tackle certain tasks with runtime speedup, our result suggests that the modified QNN implemented on NISQ devices will retain the quantum advantage. Numerical simulations support the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 노이즈와 측정 오차가 존재하는 상황에서 QNN 학습 가능성에 대한 근본적인 열린 질문을 해결하기 위해.
• 게이트 노이즈, 유한한 측정 횟수, 회로 깊이가 QNN 성능과 일반화에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 노이즈 있는 환경에서 경험적 위험 최소화(ERM) 프레임워크 하에서 QNNs에 대한 이론적 보장을 수립하기 위해.
• 노이즈가 있는 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 학습 성능의 양자 우월성이 유지되는지 조사하기 위해.
• QNN 학습 가능성과 양자 통계 질의(QSQ) 모델을 연결하여 잠재적인 런타임 속도 향상을 제안하기 위해.

제안 방법

• 노이즈가 있는 기울기와 유한한 측정 횟수 하에서 기울기 하강법 수렴 분석을 통해 ERM 하에서 QNNs의 유용성 경계를 유도한다.
• Polyak-Łojasiewicz(PL) 조건과 노이즈 인식 최적화 분석을 사용하여 일반화 오차를 경계한다.
• 미분 가능성(DP)의 조합 성질을 적용하여 노이즈 채널을 갖는 QNNs가 DP 모델임을 보여준다.
• 저항력 분석을 위해 탈폴라라이징 및 진폭 감쇠 효과를 조합한 노이즈 모델을 도입한다.
• Chernoff-Hoeffding 경계를 사용하여 노이즈 하에서 정확한 기대값 추정을 위해 필요한 측정 횟수를 정량화한다.
• 노이즈가 있는 QNNs가 양자 통계 질의(QSQ) 모델을 시뮬레이션할 수 있음을 보여주며, 잠재적 양자 속도 향상 유지 가능성을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게이트 노이즈, 유한한 측정 횟수, 회로 깊이는 QNNs의 유용성과 일반화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 NISQ 장치에서 일반적인 노이즈가 있는 양자 연산 하에서 QNNs는 학습 가능성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 노이즈가 있는 QNNs는 노이즈가 없는 QNNs와 동일한 학습 가능성 수준을 갖는가?
• RQ4 노이즈가 있는 QNNs는 미분 가능성을 가질 수 있는가?
• RQ5 노이즈가 있는 QNNs는 양자 통계 질의(QSQ) 모델을 시뮬레이션할 수 있으며, 잠재적 양자 우월성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 큰 게이트 노이즈, 적은 측정 횟수, 깊은 회로는 ERM 하에서 QNNs의 유용성 경계를 악화시키며, 이는 $ R_1 = \tilde{O}\left(\frac{1}{(1-\tilde{p})^2}, d, \frac{1}{BK}\right) $로 정량화된다.
• 유용성 경계 $ R_2 $ 는 $ O\left(\frac{1}{(1-\tilde{p})^2}, \frac{1}{SBK^2}, d\right) $ 로 스케일링되며, 노이즈와 측정 횟수에 대한 의존성을 보여준다.
• 노이즈 채널 $ \mathcal{E}_{p_1} $ 에 의해 훼손된 QNNs는 측정 메커니즘의 DP 성질 덕분에 미분 가능성이 있다.
• 노이즈 없는 QNNs로 학습 가능한 개념 클래스는 게이트 노이즈 하에서도 여전히 학습 가능하므로, 노이즈에 대한 강건성을 시사한다.
• 노이즈가 있는 QNNs는 효과적으로 양자 통계 질의(QSQ) 모델을 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 양자 속도 향상 잠재력 유지 가능성을 시사한다.
• 정확도 $ \left|\frac{1}{K}\sum V_k - \nu\right| \leq \tau $ 를 달성하기 위해 필요한 측정 횟수 $ K $ 는 $ K = \frac{\ln(2/b)}{2(\tau - \tilde{p}\nu - p_2' - p_3^{L_Q}/D)^2} $ 로 주어지며, 정확도, 노이즈, 신뢰도 간의 트레이드오프를 보여준다.