[논문 리뷰] On the least upper bound for the settling time of a class of fixed-time stable systems

Rodrigo Aldana‐López, David Gómez‐Gutiérrez외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 19.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고전적 수렴 분석을 재검토하고 수정된 시스템 구조를 도입하여 고정시간 안정 시스템의 정착 시간에 대한 비보수적인 상한을 제안한다. 이는 정착 시간에 대한 가장 작은 균일한 상한을 도출하고, 조정 가능한 파라미터를 통해 사전 정의된 시간 내 수렴을 가능하게 하여 실시간 제어 응용 분야(예: 관측기 및 미분기)에서 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

This paper deals with the convergence time analysis of a class of fixed-time stable systems with the aim to provide a new non-conservative upper bound for its settling time. Our contribution is threefold. First, we revisit a well-known class of fixed-time stable systems showing the conservatism of the classical upper estimate of the settling time. Second, we provide the smallest constant that uniformly upper bounds the settling time of any trajectory of the system under consideration. Then, introducing a slight modification of the previous class of fixed-time systems, we propose a new predefined-time convergent algorithm where the least upper bound of the settling time is set a priori as a parameter of the system. This calculation is a valuable contribution toward online differentiators, observers, and controllers in applications with real-time constraints.

연구 동기 및 목표

• 고정시간 안정 시스템에서 정착 시간에 대한 고전적 상한의 보수성 문제를 해결하기 위해.
• 모든 시스템 궤적에 대해 정착 시간을 상한으로 제한하는 가장 작은 균일한 상수를 도출하기 위해.
• 정착 시간의 최소 상한을 사전에 시스템 파라미터로 설정할 수 있는 수정된 시스템 클래스를 설계하기 위해.
• 관측기, 미분기, 제어기와 같은 실시간 제어 응용 분야에서 보장된 수렴 시간을 제공하기 위해.

제안 방법

• 기존 정착 시간 상한의 과대평가 문제를 드러내기 위해 고전적 고정시간 안정 시스템 클래스를 재평가하기 위해.
• 시스템 동역학에 대한 분석 기법을 사용하여 정착 시간에 대한 모든 균일한 상한의 하한(infimum)을 도출하기 위해.
• 수렴 시간의 최소 상한을 직접 제어할 수 있는 조정 가능한 파라미터를 갖춘 수정된 시스템 구조를 도입하기 위해.
• 라이아프노프 기반 분석을 사용하여 도출된 상한 내에서 고정시간 안정성과 수렴성을 증명하기 위해.
• 정착 시간을 시스템 파라미터의 함수로 공식화하고, 모든 초기 조건에서의 최소성( minimality )을 보여주기 위해.
• 고전적 추정치와의 비교를 통해 이론적 상한을 검증하고 보수성 감소를 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정시간 안정 시스템의 정착 시간에 대해 가능한 가장 작은 균일한 상한은 무엇인가?
• RQ2 고정시간 시스템에서 정착 시간의 고전적 과대평가 문제는 어떻게 분석적으로 정량화하고 수정할 수 있는가?
• RQ3 정착 시간의 최소 상한이 시스템 파라미터로 명시적으로 설정될 수 있는 수정된 시스템 구조를 설계할 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 상한은 보장된 수렴 시간이 필요한 실시간 제어 응용 분야에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 정착 시간에 대한 모든 균일한 상한의 정확한 하한(infimum)을 규명하였으며, 이는 고전적 추정치보다 엄격히 작다.
• 유도된 상한은 비보수적이며, 시스템의 모든 초기 조건에 대해 균일하게 성립한다.
• 정착 시간의 최소 상한이 조정 가능한 파라미터로 설정 가능한 수정된 시스템 클래스가 제안되었으며, 이는 사전 정의된 시간 내 수렴을 가능하게 한다.
• 제안된 방법은 최소화된 분석 가능 수렴 상한과 함께 고정시간 안정성을 보장한다.
• 분석적 비교를 통해 고전적 상한에 대한 이론적 개선이 입증되었으며, 보수성이 감소함을 보여준다.
• 관측기 및 미분기와 같은 실시간 제어 시스템에 대한 실용적 구현을 지원하며, 보장된 수렴 시간을 제공한다.