[논문 리뷰] On the lifting of Hilbert cusp forms to Hilbert-Siegel cusp forms

Tamotsu Ikeda, Shunsuke Yamana|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 수체 위의 힐버트 촉성형식으로 Duke-Imamoglu-Ikeda 상승을 일반화하며, 무게 $2\kappa$인 힐버트 촉성형식에서 무게 $\kappa + \frac{m}{2}$이고 차수 $m$인 힐버트-시에겔 촉성형식으로의 상승을 구축한다. 이 구성은 열악한 월러킹 함수, 푸리에-야코비 모듈러, 심플렉틱 군의 내부 형식으로의 전이를 사용하여, 부분 $L$-함수와 분지된 소수에서 제거된 오일러 인자들을 포함하는 명시적인 $L$-함수를 갖는 히케 고유형식을 도출한다.

ABSTRACT

Starting from a Hilbert cusp form of weight $2\kap$, we will construct a Hilbert-Siegel cusp form of weight $\kap+\frac{m}{2}$ and degree $m$ and its transfer to inner forms of symplectic groups.

연구 동기 및 목표

• 타원 촉성형식에서부터 힐버트 촉성형식으로의 Duke-Imamoglu-Ikeda 상승을 전체 실수 수체 위의 힐버트 촉성형식으로 일반화하기.
• 무게 $2\kappa$인 힐버트 촉성형식에서 무게 $\kappa + \frac{m}{2}$이고 차수 $m$인 힐버트-시에겔 촉성형식으로의 상승을 구축하기.
• 자동형 표현을 통한 심플렉틱 군의 내부 형식으로 상승된 형식의 전이를 확립하기.
• 상승된 힐버트-시에겔 촉성형식의 푸리에 계수를 국소 $L$-인자들과 가우스 합으로서의 명시적 공식 제공하기.
• 상승된 형식의 표준(부분) $L$-함수가 분지된 소수에서 제거된 오일러 인자를 갖는 $L$-함수의 곱과 일치하는 지 확인하기.

제안 방법

• 완전 실수 체 $F$의 아델 링 위에서의 심플렉틱 군 $\mathrm{Mp}(W_m)$의 메타플렉틱 쌍대의 열악한 월러킹 함수를 사용한다.
• 푸리에-야코비 모듈러를 활용하여 $\mathrm{GL}_2$의 자동형 표현과 $\mathrm{Sp}_m$의 자동형 표현을 연결함으로써 상승 과정을 가능하게 한다.
• 스웨츠-브라우트 함수와 웨일 표현을 사용한 썰림을 통한 상승이 실현되며, 무게 이동은 자동형성 인자 $J_{\ell}(\tilde{g}, Z)^{-1}$에서 기인한다.
• 푸리에 계수에 $c(t)$, $\mathfrak{f}_t^{\kappa-1/2}$, 국소 $L$-인자 $\Psi_v(t, q_v^{s_v})$를 포함하는 함수 $F(Z)$를 힐버트-시에겔 상반평면 $\mathfrak{H}_m^d$ 위에 정의한다.
• 자기 표현을 통한 자동형 표현 분석을 통해 $\mathrm{Sp}_m$의 내부 형식으로의 전이를 달성한다.
• 핵심 기술 도구는 국소 루트 수 $\gamma(\psi_v^t)$와 국소 $L$-인자의 함수방정식을 사용하여 적절한 변환 성질을 보장하는 것

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 이크다 상승(타원 촉성형식에서 시에겔 촉성형식으로의 상승)을 전체 실수 수체 위의 힐버트 촉성형식으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 무게 $2\kappa$인 힐버트 촉성형식으로부터 상승된 힐버트-시에겔 촉성형식의 정확한 무게와 차수는 무엇인가?
• RQ3 상승된 힐버트-시에겔 촉성형식의 푸리에 전개는 원래 힐버트 촉성형식의 푸리에 계수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 상승된 힐버트-시에겔 촉성형식의 표준(부분) $L$-함수는 무엇이며, 자동형 $L$-함수의 관점에서 어떻게 분해되는가?
• RQ5 상승 과정이 심플렉틱 군의 내부 형식으로 전이될 때 어떻게 행동하는가? 이 과정에서 판별식과 분지된 소수의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 상승은 무게 $2\kappa$인 힐버트 촉성형식으로부터 무게 $\kappa + \frac{m}{2}$이고 차수 $m$인 힐버트-시에겔 촉성형식을 생성하며, 고전적 이크다 상승을 힐베르트 모듈러 형식으로 일반화한다.
• 상승된 형식의 푸리에 계수는 $c(\nu(2B)) \cdot \mathfrak{f}_B^{\kappa-1/2} \cdot \prod_{v \notin \mathfrak{S}_\infty} \widetilde{F}_v(B, q_v^{s_v})$로 명시적으로 주어지며, 여기서 $\widetilde{F}_v$는 국소 $L$-인자와 가우스 합을 캡슐화한다.
• 상승된 형식의 표준(부분) $L$-함수는 $\zeta_F^{\mathfrak{e}^D}(s) \prod_{i=1}^{2n} L^{\mathfrak{e}^D}(s + n - i + \frac{1}{2}, \pi)$이며, 분할 대수 $D$의 분지된 소수들의 곱인 $\mathfrak{e}^D$에서 오일러 인자를 제거한 형태이다.
• 만약 $n=1$이고 $F=\mathbb{Q}$이면, 상승은 고전적 이크다 상승을 복원하며, $L$-함수는 [14, 18]에서 알려진 결과와 일치한다.
• 이 구성은 자코비-랑글랑즈 전이와 호환되며, $\mathrm{Sp}_m$의 내부 형식에서의 상승된 형식이 푸리에-야코비 모듈러와 국소 함수방정식 이론을 통해 촉성적이고 히케 고유형식임을 보여준다.
• 상승은 히케 고유형식의 구조를 유지하며, 상승된 형식의 고유값 체계는 원래 힐버트 촉성형식의 국소 $L$-인자들과 유도 표현에서의 $s_v$ 선택에 의해 결정된다.