[논문 리뷰] On the limitations of deterministic de-randomizations for online bipartite matching and max-sat

Nicolas Pena, Allan Borodin|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Optimization and Search Problems참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 온라인 이분 매칭 및 최대 SAT 문제에서 결정론적 탈난수화의 한계를 조사한다. 조건부로 병렬 온라인 알고리즘 또는 우선순위 입력 순서를 사용하더라도 결정론적 방법은 이분 매칭의 경우 1/2 이하의 근사 비율을 초월할 수 없으며, 최대 SAT 문제의 경우 3/4 이하의 비율을 초월할 수 없다. 이러한 설정에서 더 나은 성능를 달성하기 위해 난수화가 반드시 필요하다는 것이 입증된다.

ABSTRACT

The surprising results of Karp, Vazirani and Vazirani and (respectively) Buchbinder et al are examples where rather simple randomizations provide provably better approximations than the corresponding deterministic counterparts for online bipartite matching and (respectively) unconstrained non-monotone submodular maximization. We show that seemingly strong extensions of the deterministic online computation model can at best match the performance of naive randomization. More specifically, for bipartite matching, we show that in the priority model (allowing very general ways to order the input stream), we cannot improve upon the trivial 1/2-approximation achieved by any greedy maximal matching algorithm and likewise cannot improve upon this approximation by any log n/log log n number of online algorithms running in parallel. The latter result yields an improved log log n - log log log n lower bound for the number of advice bits needed. For max-sat, we adapt the recent de-randomization approach of Buchbinder and Feldman applied to the Buchbinbder et al algorithm for max-sat to obtain a deterministic 3/4-approximation algorithm using width 2n parallelism. In order to improve upon this approximation, we show that exponential width parallelism of online algorithms is necessary (in a model that is more general than what is needed for the width 2n algorithm).

연구 동기 및 목표

• 온라인 이분 매칭 및 최대 SAT 문제에서 랜덤화 알고리즘의 성능을 초월할 수 있는 결정론적 온라인 모델의 확장 가능성을 규명하는 것.
• 병렬 온라인 알고리즘(너비-k 모델)과 우선순위 모델이 난수화 없이 근사 비율을 향상시킬 수 있는 한계를 분석하는 것.
• 병렬 처리나 조언을 통한 탈난수화가 알려진 랜덤화 알고리즘보다 더 나은 비율을 달성할 수 있는지 평가하는 것.
• 이러한 문제들에서 기준 근사 비율을 초월하기 위해 필요한 너비 또는 조언 비트 수의 날카로운 하한을 설정하는 것.

제안 방법

• pBT 모델에서 너비-k 병렬 온라인 알고리즘의 성능을 분석하여, 상수 또는 다항로그 너비로는 이분 매칭 문제에서 1/2 이하의 근사 비율을 초월할 수 없음을 보여준다.
• Buchbinder와 Feldman의 탈난수화 기법을 Buchbinder 등이 제안한 최대 SAT 알고리즘에 적용하여 너비 2n로 결정론적 3/4 근사 알고리즘을 도출한다.
• 최대 SAT 문제에서 3/4 근사 비율을 초월하기 위해 지수적 너비가 필요하다는 것을 보이며, 특히 Johnson의 알고리즘이 3/4를 달성하는 정확한 최대-2-SAT 케이스에서도 마찬가지임을 보여준다.
• 우선순위 모델을 사용하여, 이분 매칭 문제에서 난수화의 부재를 보완할 수 없음을 보여준다.
• 비균일한 max-of-k 알고리즘과 조언 기반 계산을 연결함으로써 조언 하한을 도출하여, 이분 매칭 문제에서 1/2 근사 비율을 초월하기 위해 log log n - log log log n 비트를 초월하는 조언이 필요하다는 것을 보여준다.
• 최대 SAT 문제에 대해 다양한 입력 모델에서 결정론적 알고리즘을 비교하며, 부분적 또는 완전한 절대 정보를 제공하는 모델 간의 차이를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 너비를 가진 결정론적 병렬 온라인 알고리즘이 온라인 이분 매칭 문제에서 1/2 근사 비율을 초월할 수 있는가?
• RQ2 3/4 근사 비율 알고리즘의 최대 SAT 문제에 대해 다항식 너비 병렬 처리만으로 탈난수화가 가능한가?
• RQ3 온라인 이분 매칭 문제에서 1/2 근사 비율을 초월하기 위해 필요한 최소 너비 또는 조언 비트 수는 얼마인가?
• RQ4 우선순위 모델 또는 무작위 순서 모델이 결정론적 알고리즘이 탐욕적 최대 매칭의 성능을 초월하는 데 도움이 되는가?
• RQ5 입력 정보(예: 절대 길이, 가중치 등)와 최대 SAT 문제에서 3/4 근사 비율을 초월하기 위해 필요한 너비 사이의 상호 교환 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 온라인 이분 매칭 문제에서, 상수 또는 O(log n / log log n) 너비의 병렬 알고리즘은 우선순위 모델로도 전체 입력 순서를 확보하더라도 1/2 근사 비율을 초월할 수 없다.
• Buchbinder 등이 제안한 알고리즘의 탈난수화를 통해 너비 2n를 사용하는 결정론적 3/4 근사 알고리즘이 도출된다.
• 최대 SAT 문제에서 3/4 근사 비율을 초월하기 위해 지수적 너비가 필요하며, Johnson의 알고리즘이 이미 3/4를 달성하는 정확한 최대-2-SAT 케이스에서도 마찬가지다.
• 입력 모델 0(제한된 정보)에서는 결정론적 상수 너비 알고리즘이 2/3 이하의 근사 비율을 달성할 수 있어, 난수화 또는 절대 길이 지식이 필수적임을 보여준다.
• 우선순위 모델은 이분 매칭 문제에서 결정론적 알고리즘이 1/2 장벽을 넘는 데 도움이 되지 않으며, 전체 입력 정렬 기능이 있더라도 마찬가지다.
• 조언 하한이 향상됨: 이분 매칭 문제에서 1/2 근사 비율을 초월하기 위해 log log n - log log log n 비트를 초월하는 조언이 필요하며, 이는 병렬 온라인 알고리즘의 한계 때문임을 보여준다.