[논문 리뷰] On the limiting distribution of some numbers of crossings in set partitions

Anisse Kasraoui|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 28.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 원소 수 n이 커짐에 따라 선형 표현에서의 화살표 교차 수와 원형 표현에서의 현 교차 수에 대한 渐近 정규성(Asymptotic normality)을 확립한다. 생성함수와 분산 분석을 통해, 선형의 경우 k ≤ n/(2 log n)이고 원형의 경우 k = o(√n)일 때, 교차 수의 표준화된 분포가 가우시안으로 수렴함을 증명한다. 선형 케이스의 경우 정확한 분산 공식을 제시하고, 전체 분할 집합에 대한 측도 집중 현상이 관찰된다.

ABSTRACT

We study the asymptotic distribution of the two following combinatorial parameters: the number of arc crossings in the linear representation, ${\mathrm cr^{(\ell)}$, and the number of chord crossings in the circular representation, ${\mathrm cr^{(c)}$, of a random set partition. We prove that, for $k\leq n/(2\,\log n)$ (resp., ${k=o(\sqrt{n})}$), the distribution of the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ (resp., ${\mathrm cr^{(c)}$) taken over partitions of $[n]:=\{1,2,...,n\}$ into $k$ blocks is, after standardization, asymptotically Gaussian as $n$ tends to infinity. We give exact and asymptotic formulas for the variance of the distribution of the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ from which we deduce that the distribution of ${\mathrm cr^{(\ell)}$ and ${\mathrm cr^{(c)}$ taken over all partitions of $[n]$ is concentrated around its mean. The proof of these results relies on a standard analysis of generating functions associated with the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ obtained in earlier work of Stanton, Zeng and the author. We also determine the maximum values of the parameters ${\mathrm cr^{(\ell)}$ and ${\mathrm cr^{(c)}$.

연구 동기 및 목표

• 선형 집합 분할 표현에서의 화살표 교차 수의 극한 분포를 분석하는 것.
• 원형 집합 분할 표현에서의 현 교차 수의 극한 행동을 연구하는 것.
• 선형 표현에서 교차 수의 정확한 및 점근적 공식을 유도하는 것.
• 선형 및 원형 표현에서 가능한 최대 교차 수를 결정하는 것.
• 모든 [n]의 분할 집합에 걸쳐 총 교차 분포의 측도 집중을 확립하는 것.

제안 방법

• Stanton, Zeng 및 저자의 이전 연구에서 유도된 교차 수 파라미터를 위한 생성함수를 활용한다.
• 생성함수에 표준 점근 분석을 적용하여 모멘트와 분산을 계산한다.
• Tn,k(q) = ∑π∈Πₙᵏ q^{cr^(ℓ)(π)} 공식을 사용하여 k-블록 분할에서의 교차 분포를 분석한다.
• 연분수 전개와 유리 생성함수 항등식을 활용하여 분산 및 분포적 성질을 추출한다.
• 조합 최적화 기법을 적용하여 두 표현에서의 최대 교차 수를 결정한다.
• n mod 3 기반의 케이스 분석을 수행하여 최대 교차 수의 위치와 값을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 집합 분할이 k개 블록으로 선형 표현될 때, 화살표 교차 수의 극한 분포는 무엇인가요?
• RQ2 n → ∞일 때 원형 표현에서의 현 교차 수 분포는 점근적으로 어떻게 행동하는가요?
• RQ3 선형 표현에서 교차 수의 정확한 및 점근적 공식은 무엇인가요?
• RQ4 선형 및 원형 표현에서 가능한 최대 교차 수는 얼마인가요?
• RQ5 전체 [n]의 분할 집합에 걸쳐 교차 수 분포는 얼마나 집중되어 있는가요?

주요 결과

• k ≤ n/(2 log n)일 때, Πₙᵏ 상에서 cr^(ℓ)의 분포는 표준화 후 점근적으로 가우시안이다.
• k = o(√n)일 때, Πₙᵏ 상에서 cr^(c)의 분포는 표준화 후 점근적으로 가우시안이다.
• cr^(ℓ)의 분산에 대한 정확한 공식이 도출되어 정밀한 점근 분석이 가능해졌다.
• 모든 [n]의 분할에 대해 cr^(ℓ)과 cr^(c)의 분포는 n → ∞일 때 평균 주위에 집중되어 있다.
• 선형 표현에서 최대 교차 수는 k ≥ ⌈n/2⌉일 때 도달하며, 정확히 n−k개의 교차 화살표를 가진다.
• 원형 표현에서 최대 교차 수는 n ≡ 0 mod 3이면 M^(c)_n,k = 6⌊n/3⌋²/2이며, 그 외의 경우 유사한 표현식을 가진다.