[논문 리뷰] On the locating-chromatic number of corona product of graphs

Dian Kastika Syofyan, Suhadi Wido Saputro외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 08. 13.

Graph Labeling and Dimension Problems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 코로나 곱 G ⊙ H의 위치-색상 수의 일반적 경계를 제시하며, H의 구성요소를 통해 하한을 증명하고 χL(G) 및 χL(Ht+K1)로 표현된 상한을 제시한다; 또한 존재 결과를 보이고 트리들에 대해 Tn ⊙ ¬Km 를 분석한다.

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a finite, simple, and connected graph. The locating-chromatic number of a graph $G$ can be defined as the cardinality of a minimum resolving partition of the vertex set $V(G)$ such that all vertices have different coordinates and every two adjacent vertices in $G$ is not contained in the same partition class. In this case, the coordinate of a vertex in $G$ is expressed in terms of the distances of this vertex to all partition classes. The corona product of a graph $G$ of order $n$ and a graph $H,$ denoted by $G \odot H,$ is the graph obtained by taking one copy of $G$ and $n$ copies of $H$ and joining the $i^{th}$-vertex of $G$ to every vertex in the $i^{th}$-copy of $H$. In this paper, we determine the sharp general bound of the locating-chromatic number of $G \odot H$ for $G$ is a connected graph and $H$ is an arbitrary graph, or $G$ is a tree graph and $H$ is a complement of complete graph.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 위치 잡히기 색상 수와 코로나 곱의 정의를 동기 부여하고 정의한다.
• G가 연결되고 H가 임의일 때 또는 G가 트리이고 H가 완전 그래프의 여집합일 때 χL(G ⊙ H)에 대한 일반적 경계를 확장한다.
• χL(G ⊙ H)에 대해 하한과 상한을 도출하고 이 경계를 달성하는 존재 결과를 증명한다.
• 특히 Tn ⊙ ¬Km의 경우에 결과를 특수화하고 트리에 대한 위치-색상 수가 완전 그래프의 여집합과 어떻게 관련되는지 분석한다.

제안 방법

• 위치 매핑(coloring)과 위치-색상 수 χL(G)을 해결Partition과 색 코드(color codes)를 통해 정의한다.
• 코로나 곱의 구조를 분해한다: G ⊙ H는 G와 G의 각 정점에 연결된 H의 복사들로 구성된다.
• 정리 2를 입증한다: 각 Ht(u)는 최소 χL(Ht + K1) − 1개의 색 클래스로 분할된다.
• 하한 χL(G ⊙ H) ≥ max{ χL(Ht + K1) : t = 1,…,k } (Lemma 3) 를 확립한다.
• 상한 χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑t=1..k (χL(Ht + K1) − 1) (Lemma 4) 를 확립한다.
• 경계들을 결합하여 정리 1을 얻는다: max χL(Ht+K1) ≤ χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑(χL(Ht+K1) − 1).
• 이 경계들을 달성하거나 그 사이에 위치하는 그래프의 존재를 보이는 구성 기반 정리 2–4를 제공한다.
• 특별한 경우 Tn ⊙ ¬Km를 분석하고 관련 경계를 도출한다(정리 5–8).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 G와 임의의 H가 주어졌을 때 코로나 곱 G ⊙ H의 위치-색상 수에 대한 예리한 일반 경계는 무엇인가?
• RQ2 H의 구성요소 구조가 χL(G ⊙ H)을 χL(Ht + K1)을 통해 어떻게 영향하는가?
• RQ3 정리 1의 하한과 상한이 언제 예 tight가 되거나 그렇지 않은가?
• RQ4 특히 트리와 관련된 코로나 곱(Tn ⊙ ¬Km)의 χL의 거동은 어떠하며 χL(Tn)이 결과에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 범용 하한: χL(G ⊙ H) ≥ max{ χL(Ht + K1) : t = 1,…,k }.
• 명시된 범용 상한: χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑t=1..k (χL(Ht + K1) − 1).
• 정리 1은 어떤 연결 G와 k개의 성분을 가진 임의의 H에 대해 예리한 경계를 제공한다.
• 존재 결과는 하한이 타이트할 수 있음을 보이고(정리 2), 특정 구성에서 상한이 타이트할 수 있음을 보인다(정리 3).
• χL(G ⊙ H)이 자명한 경계들 사이에 놓이는 경우가 있으며, Tn ⊙ ¬Km에 대해서는 구체적 결과를 제시한다(정리 5–8).
• 논문은 H = ¬Km인 코로나 곱에 특수화하여 트리에 대한 구체적 경 Bound를 얻는다.