[논문 리뷰] On the locus of curves with an odd subcanonical marked point

André Contiero, Aislan Leal Fontes|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 피نك함의 등변 변형 이론과 캐논리컬 아이디얼의 심지이 분석을 이용하여, 홀수의 부분적합한 마킹된 점을 가진 매끄러운 곡선의 모듈리 공간의 명시적 컴팩티피케이션을 구성한다. 주요 기여는 종수 ≤ 6에 대해 모듈리 공간의 유리성 증명이며, 특히 단항 가우시안 곡선의 변형을 통해 종수 5 및 6의 경우에 명시적인 방정정식을 제공한다.

ABSTRACT

We present an explicit construction of a compactification of the locus of smooth curves whose symmetric Weierstrass semigroup at a marked point is odd. The construction is an extension of Stoehr's techniques using Pinkham'sequivariant deformation of monomial curves by exploring syzygies. As an application we prove the rationality of the locus for genus at most six.

연구 동기 및 목표

• 홀수 부분적합한 마킹된 점을 가진 매끄러운 곡선의 모듈리 공간의 명시적 컴팩티피케이션을 구성하는 것.
• 스토어의 방법론을 일반적인 대칭 세미군집의 제약 조건을 초월하여 확장하는 것, 특히 초타원곡선 및 홀수 웨이어스타인 세미군집을 피하는 것.
• 심지이 분석을 이용하여 홀수 대칭 세미군집 $\mathcal{S}$ 에 대해 모듈리 공간 $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 의 전반적 기하학을 조사하는 것.
• 가중치 프로젝티브 공간에서의 명시적 방정정식을 구성함으로써 종수 $g \leq 6$ 에 대해 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 의 유리성을 증명하는 것.

제안 방법

• 홀수 대칭 세미군집 $\mathcal{S}$ 와 관련된 단항 가우시안 곡선의 캐논리컬 아이디얼을 변형함으로써 피닉함의 등변 변형 이론을 적용하는 것.
• 캐논리컬 아이디얼의 심지이를 분석하여 변형 공간을 제어하고, $\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ 의 닫힌 부분스킴으로서 컴팩티피케이션을 구성하는 것.
• 모듈리 공간의 환경 공간으로서 첫 번째 코 tangent 복합체 $T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}])$ 의 음의 가중치 부분을 사용하는 것.
• 부슈베이츠의 장애 공간 $T^2$ 기술을 적용하여 종수 5 및 6의 경우에 비자명한 장애를 탐지하는 것.
• 변형 매개변수에 따라 $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 의 명시적 등중 다항식 방정정식을 유도하는 것.
• 특수 매개변수 $a_5 = 1$ 을 설정한 후 국소적으로 유리 함수를 통해 모듈리 공간을 매개변수화함으로써 유리성의 확인.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토어의 원래 프레임워크를 초월하여, 홀수 부분적합한 마킹된 점을 가진 곡선의 모듈리 공간에 대해 명시적 컴팩티피케이션을 구성할 수 있는가?
• RQ2 캐논리컬 아이디얼의 심지이는 홀수 대칭 세미군집을 가진 단항 가우시안 곡선의 변형 이론에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 종수 $g \leq 6$ 인 홀수 대칭 세미군집 $\mathcal{S}$ 에 대해 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ4 특히 스무딩에 대한 장애가 존재할 경우, $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 가 종수 $g \leq 6$ 에 대해 유리적인가?
• RQ5 코 tangent 복합체 $T^1$ 과 $T^2$ 는 컴팩티피케이션된 모듈리 공간의 유리성과 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 는 15개 변수에서 정의된 다섯 개의 등중 다항식 $\vartheta_{13}, \vartheta_{15}, \vartheta_{16}, \vartheta_{17}, \vartheta_{19}$ 의 영점으로 명시적으로 기술된다.
• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 의 국소적 매개변수화는 유리적이다. $b_{10}, b_{12}, b_8$ 는 $a_4, a_5=1, a_7, a_8, a_9, b_3, b_4, b_5, b_6, b_8, b_{10}, b_{11}, b_{12}$ 에 대해 유리적으로 표현된다.
• 종수 5에서 $\mathcal{S} = \langle 5,6,7,8\rangle$ 인 경우, $T^2$ 의 차수 $-9$ 부분의 차원은 1이며, 스무딩에 비자명한 장애가 있음을 시사한다.
• 종수 6에서 $\mathcal{S} = \langle 6,7,8,9,10\rangle$ 인 경우, $T^2$ 의 차수 $-13$ 부분의 차원은 1이며, 장애 공간이 비영임을 확인한다.
• 컴팩티피케이션 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 는 심지이 분석을 통해 가중치 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ 의 닫힌 부분스킴으로 구성된다.
• 비자명한 $T^2$ 가 존재하더라도, 종수 $g \leq 6$ 에 대해 $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 의 유리성은 명시적 유리 매개변수화를 통해 확인된다.