[논문 리뷰] On the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals

Shōta Inoue|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 09.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타함수의 로그 및 그 반복 적분에 대한 명시적 근사 공식을 수립하여, 이 함수들의 값 분포와 비자명한 영점 및 소수의 분포 간의 관계에 대한 새로운 통찰을 가능하게 한다. 주요 결과는 리만 가설 하에서 반복 적분이 주어진 크기 이상을 초과하는 예외적인 집합의 측도에 대한 날카운 추정을 제시하며, 이는 $ V^{1/(m+1)}(\log T)^{m/(m+1)} $ 에 대한 지수 감소를 보인다.

ABSTRACT

This paper gives some results for the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals. We obtain a certain explicit approximation formula for these functions. The formula has some applications, which are related with the value distribution of these functions and a relation between prime numbers and the distribution of zeros in short intervals.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타함수의 로그 및 그 반복 적분에 대한 명시적 근사 공식을 유도하기.
• $ \eta_m(s) = \int \eta_{m-1}(s) dt $ 의 값 분포를 분석하기, 특히 임계선에서.
• 반복 적분 $ S_m(t) $ 의 성장과 비자명한 영점의 분포, 소수의 분포 간의 관계를 탐색하기.
• 리만 가설 하에서 $ |\eta_m(1/2 + it)| $ 가 주어진 임계값 $ V $ 를 초과하는 예외적인 집합에 대한 정량적 추정을 수립하기.
• 리만 가설 하에서 알려진 $ S_m(t) $ 의 결과들을 통합하고 확장하기.

제안 방법

• $ \eta_m(s) $ 를 $ \log \zeta(s) $ 의 $ m $-번째 반복 적분으로 재귀적으로 정의하고, 적절한 해석적 계속성을 확보하기 위해 보정항 $ c_m(\sigma) $ 를 도입하기.
• $[0,1]$ 에서 정의된 매끄럽고 컴actsupport를 가진 가중함수 $ f $ 를 도입하고, 수정된 지수적 적분 $ E_{m+1}^* $ 를 포함한 함수 $ u_{f,H}(x) $, $ v_{f,H}(y) $, $ U_m(z) $ 를 정의하기.
• 제수 $ \rho $ 중 $ |s - \rho| \leq 1/\log X $ 인 것들의 기여를 반영하는 근사 $ Y_m(s,X) $ 를 구성하기. $ m=0 $ 에는 $ \log((s - \rho)\log X) $ 를, $ m \geq 1 $ 에는 다항식 합을 사용하기.
• 근사 함수방정식과 페론 유형의 공식을 이용하여 $ \eta_m(s) $ 와 $ n \leq Z $ 에 대한 합을 연결하고, 가중치 $ v_{f,H}(e^{\log n / \log Z}) $ 를 도입하기.
• 모멘트 추정과 지수적 모멘트 경계를 적용하기 위해 모멘트 방법을 사용하고, 소수와 정수에 대한 지수합의 $ L^2 $-노름을 활용하기.
• 지수적 모멘트 방법을 통해 예외적인 집합 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ 의 측도 추정을 유도하며, 지수 항이 $ -c V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} $ 인 가우시안 유사 尾尾 분포를 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 제타함수의 로그 및 그 반복 적분은 영점과 산술적 자료를 바탕으로 어떻게 명시적으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 리만 가설 하에서 $ |\eta_m(1/2 + it)| $ 가 주어진 크기 $ V $ 를 초과하는 $ t \in [T, 2T] $ 의 집합 측도는 얼마인가?
• RQ3 $ S_m(t) $, 즉 $ S(t) $ 의 $ m $-번째 반복 적분의 성장률은 리만 가설과 영점 분포와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $ \log \zeta(1/2 + it) $ 의 값 분포와 짧은 간격 내 소수 분포 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $ \eta_m(s) $ 의 근사 공식을 사용하여 $ \eta_m(s) $ 가 일반적인 크기에서 크게 벗어나는 예외적인 집합에 대한 날카운 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 명시적 근사 공식이 $ \eta_m(s) $ 에 대해 수립되었으며, 이는 $ s $ 근처의 영점에 대한 합과 정수에 대한 산술적 합으로 분해되며 정밀한 오차 제어가 가능하다.
• 리만 가설 하에서 $ |\eta_m(1/2 + it)| > V $ 인 집합 $ \mathscr{T}_m(T,X,V) $ 의 측도는 다음을 만족한다: $ \operatorname{meas}(\mathscr{T}_m(T,X,V)) \ll \exp\left( -c_4 V^{1/(m+1)} (\log T)^{m/(m+1)} \log\left(e \frac{V^{(2m+1)/(2m+2)} (\log X)^m}{(\log T)^{m/(2m+2)}} \right) \right) $.
• 특히 $ V \leq \frac{\log T}{(\log X)^{m+1}} $ 일 경우, 예외 집합의 측도는 $ \log T $ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 감소하여, $ \eta_m(1/2 + it) $ 가 일반적인 값 주변에 강하게 집중되어 있음을 시사한다.
• 이 경계는 $ S_m(t) = \pi^{-1} \operatorname{Im}(\eta_m(1/2 + it)) $ 가 리만 가설 하에서 거의 어디서나 $ S_m(t) = o\left( (\log T)^{m/(m+1)} \right) $ 를 만족함을 의미한다.
• 이 결과는 기존의 $ S_m(t) $ 의 경계를 강화하며, 리만 가설이 $ m \geq 3 $ 에 대해 $ S_m(t) = o(T^{m-2}) $ 를 암시함을 보여주며, 후지이의 등가성과 일치한다.
• 이 방법은 $ \log \zeta(1/2 + it) $ 의 값 분포를 연구하는 데 새로운 프레임워크를 제공하며, 모멘트 추정을 통해 소수와 영점의 짧은 간격 분포와의 연결을 밝혀낸다.