[논문 리뷰] On the longest common subsequence of independent random permutations invariant under conjugation

Mohamed Slim Kammoun|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 01.

Random Matrices and Applications참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 공액에 관하여 불변인 독립적인 랜덤 순열 쌍에서 최장 공통 부분수열(LCS)의 기대 길이에 대한 渐近 하한을 확립한다. σ₁⁻¹∘σ₂의 최장 증가 부분수열을 분석함으로써, 한 순열의 법칙이 공액에 관하여 불변이고 그 사이클 수가 잘 제어될 경우, LCS 기대값이 2√n 정도의 주기성을 가진다는 것을 증명한다. 핵심 결과는 두 번째 순열의 법칙에 대한 가정 없이도, LCS 변동이 미묘한 조건 하에서 트레이시-위드먼 분포로 수렴한다는 것이다.

ABSTRACT

Bukh and Zhou conjectured that the expectation of the length of the longest common subsequence of two i.i.d random permutations of size $n$ is greater than $\sqrt{n}$. We prove in this paper that there exists a universal constant $n_1$ such that their conjecture is satisfied for any pair of i.i.d random permutations of size greater than $n_1$ with distribution invariant under conjugation. We prove also that asymptotically, this expectation is at least of order $2\sqrt{n}$ which is the asymptotic behaviour of the uniform setting. More generally, in the case where the laws of the two permutations are not necessarily the same, we gibe a lower bound for the expectation. In particular, we prove that if one of the permutations is invariant under conjugation and with a good control of the expectation of the number of its cycles, the limiting fluctuations of the length of the longest common subsequence are of Tracy-Widom type. This result holds independently of the law of the second permutation.

연구 동기 및 목표

• Bukh와 Zhou(2016)의 추측을 해결한다: i.i.d. 랜덤 순열에 대해 E[LCS] ≥ √n 이다.
• 적어도 한 순열의 법칙이 공액에 관하여 불변일 경우, E[LCS]에 대한 날카로운 渐近 하한을 확립한다.
• 특히 트레이시-위드먼 변동을 식별함으로써, 공액에 관하여 불변인 법칙 하에서 LCS 길이의 극한 분포를 특성화한다.
• 두 순열이 서로 다른 분포를 가질 때도 결과를 확장하기 위해, 두 번째 순열의 법칙에 대한 가정 없이 하한을 유도한다.

제안 방법

• LCS(σ₁, σ₂) = ℓ(σ₁⁻¹ ∘ σ₂)라는 항등식을 사용하여 문제를 조합의 최장 증가 부분수열(LIS) 연구로 환원한다.
• Sₙ과 그 자체로 대칭되는 순열 위에서의 균일 분포와의 비교 기법을 적용하여 하한을 도출한다.
• 공액에 관하여 불변인 σ₁,n과 균일 랜덤 순열 간의 커플링을 사용하여 변동을 제어한다.
• 균일 랜덤 순열의 LIS에 대한 트레이시-위드먼 극한 법칙에 대한 기존 결과를 활용한다.
• 베르시크-케로프-로건-셰프의 극한 형태와 Ω(s)를 포함하는 적분을 통해 정의된 함수 G를 사용하여 渐近 상수를 특성화한다.
• 제닝스 부등식과 사이클 수 및 고정점에 대한 농도 경계를 적용하여 최종 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 i.i.d. 공액에 관하여 불변인 랜덤 순열의 LCS 기대값은 √n을 초과하는가?
• RQ2 고정점 확률이 0으로 수렴할 때, E[LCS]에 대해 2√n 정도의 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 σ₁,n이 공액에 관하여 불변이고 사이클 수가 적을 경우, LCS(σ₁,n, σ₂,n)의 극한 변동은 무엇인가?
• RQ4 두 순열의 법칙이 다를 때, 하나의 순열만 공액에 관하여 불변일 경우, LCS 기대값은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 한 순열이 공액에 관하여 불변일 경우, 두 번째 순열의 법칙에 관계없이 LCS 변동의 보편 극한으로 트레이시-위드먼 분포가 성립하는가?

주요 결과

• i.i.d. 공액에 관하여 불변인 순열에 대해, lim infₙ→∞ E[LCS]/√n ≥ 2이며, 이는 Bukh-Zhou 추측의 강화된 형태를 확인한다.
• 공액에 관하여 불변이고 고정점 확률이 0으로 수렴할 경우, E[LCS]/√n → 2 이며, 분포적으로 트레이시-위드먼 분포로 수렴한다.
• σ₁,n의 기대 사이클 수가 o(√n)이면, LCS(σ₁,n, σ₂,n)/√n 는 분포적으로 트레이시-위드먼 분포로 수렴한다.
• G는 랜덤 순열의 극한 형태로부터 유도된 함수이며, E[LCS]/√n ≥ G⁻¹(𝔼[#(σ₁,n)/(2n)]) 형태의 하한이 확립된다.
• 하한의 渐近 상수는 2√θ ≈ 0.564이며, 여기서 θ는 G(2√x) = (2 + x)/12 를 만족하는 해이다.
• 결과는 보편적으로 성립한다: σ₂,n의 법칙에 대한 어떤 가정도 필요 없으며, 임의이거나 불변이 아닌 경우에도 성립한다.