[논문 리뷰] On the Luttinger theorem concerning number of particles in the ground states of systems of interacting fermions

Behnam Farid|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 06.

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상호작용을 갖는 페르미온에 대한 Luttinger 정리를 철저히 재검토하여, 짧은 거리 상호작용을 갖는 시스템—예를 들어 격자 모형—에서 상호작용 강도에 관계없이 그 무조건적 타당성을 입증한다. 자가에너지의 페르추르베이션 전개가 스켈레톤 다이어그램에서 균일 수렴함을 보이고, 영온도 극한을 분석함으로써, 명백한 위반이 잘못된 그린 함수나 오용에서 기인함을 밝혀내며, 유일한 예외로 절연체 상태에서 잘못된 영온도 극한이 진정한 실패를 초래할 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We analyze the original proof by Luttinger and Ward of the Luttinger theorem, according to which for uniform ground states of systems of (interacting) fermions, which may be metallic or insulating, the number of k points corresponding to non-negative values of G_s(k;mu) is equal to the total number of particles with spin index s in these ground states. Here G_s(k;mu) is the single-particle Green function of particles with spin index s at the chemical potential mu. For the cases where the two-body interaction potential is short-range, and in particular for lattice models, we explicitly demonstrate that this theorem is unconditionally valid, irrespective of the strength of the bare interaction potential. We arrive at this conclusion by amongst other things demonstrating that the perturbation series expansion for self-energy in terms of skeleton diagrams, as encountered in the proof of the Luttinger-Ward identity, is uniformly convergent for almost all momenta and energies. We further investigate the mechanisms underlying some reported instances of failure of the Luttinger theorem. With one exception, for all the cases considered in this paper, we show that the apparent failures of the Luttinger theorem can be attributed either to shortcomings of the employed single-particle Green functions or to misapplication of this theorem. The one exceptional case brings to light the possibility of a genuine failure of the Luttinger theorem for insulating ground states, which we show to be brought about by a false limit that in principle can be reached on taking the zero-temperature limit without the value of mu coinciding with the zero-temperature limit of the chemical potential satisfying the equation of state at finite temperatures; no such ambiguity can arise for metallic states.

연구 동기 및 목표

• 상호작용 페르미온에 대한 Luttinger 정리를 균일한 기본 상태—금속 및 절연체 상을 포함—에서 재표현하고 엄밀히 검증한다.
• 그린 함수 정의나 정리의 오용으로 인한 보고된 Luttinger 정리 실패 사례를 해결한다.
• 영온도 극한이 잘못 취해질 경우 절연체 상태에서 진정한 실패가 발생할 수 있는 특별한 케이스를 조사한다.
• praticular 자가에너지 급수의 스켈레톤 다이어그램에서 거의 모든 운동량과 에너지에 대해 균일 수렴함을 확립한다.
• 영온도 극한에서 Luttinger 수가 점유수의 합과 일치하는 조건을 명확히 한다.

제안 방법

• 자기에너지의 스켈레톤 다이어그램 전개와 페르추어베이션 이론을 사용해 원래의 Luttinger-Ward 증명을 분석한다.
• 거의 모든 $\mathbf{k}$ 와 $z$ 에 대해 급수 $\sum_{\nu=1}^{\infty}\tilde{\Sigma}_{\sigma}^{(\nu)}(\mathbf{k};z)$ 의 균일 수렴을 입증하여 수학적 안정성을 확보한다.
• 점근적 행동 평가를 위해 $|z|$ 가 큰 경우 그린 함수 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 와 자가에너지 $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 의 점근 전개를 사용한다.
• 점적 분포의 행동을 평가하기 위해 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 와 $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 의 점근 전개를 사용한다.
• 점적 분포의 행동을 평가하기 위해 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)\partial\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)/\partial z$ 의 행동을 $z = \mu$ 근처에서 분석하여 점유수 극한의 유계성을 판단한다.
• 특히 1차원 Luttinger 모형에서 국소 극한의 대칭 및 비대칭 케이스를 고려하여 정리의 강건성을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짧은 거리 상호작용을 갖는 상호작용 페르미온 시스템에서 Luttinger 정리가 언제 무조건적으로 타당한가?
• RQ2 일부 연구에서 Luttinger 정리의 명백한 위반이 보고되는 이유는 무엇이며, 이러한 현상은 그린 함수나 자가에너지 정의의 기술적 결함에서 기인하는가?
• RQ3 절연체 기저 상태에서 Luttinger 정리의 진정한 실패가 발생할 수 있는가? 만약 그렇다면, 어떤 동역학적 또는 열역학적 조건에서 발생하는가?
• RQ4 격자 모형에서 관련된 거의 모든 운동량과 에너지에 대해 스켈레톤 다이어그램의 자가에너지 페르추어베이션 전개가 균일 수렴하는가?
• RQ5 점유수 $\bar{\nu}_{\sigma}^{(1)}(\mathbf{k})$ 의 영온도 극한은 어떻게 행동하는가? 그리고 그 유계성을 보장하는 요건은 무엇인가?

주요 결과

• 짧은 거리 상호작용을 갖는 시스템—격자 모형 포함—에서는 상호작용 강도에 관계없이 Luttinger 정리는 무조건적으로 타당하다.
• 스켈레톤 다이어그램에서 자가에너지의 페르추어베이션 급수는 거의 모든 $\mathbf{k}$ 와 $z$ 에 대해 균일 수렴하며, 이는 Luttinger-Ward 항등식의 수학적 일관성을 보장한다.
• 이전 연구에서 보고된 Luttinger 정리의 명백한 위반은 정리 자체의 결함이 아니라 잘못된 그린 함수나 정리의 오용에서 기인한다.
• 1차원 Luttinger 모형에서 $\lim_{\beta\to\infty}\bar{\nu}_{\sigma}^{(2)}(\mathbf{k})$ 는 $k=0$ 과 $k\neq0$ 를 포함한 모든 $\mathbf{k}$ 에서 점근적 감쇠이 $1/y$ 보다 느린 덕분에 유계이다.
• 특히 $k=0$ 에서는 적분자 항의 주요 점근적 행동이 $\sim - (1-2\gamma_0)/iy$ 로 순수 허수이며 적분 가능하다.
• 진정한 실패가 발생할 수 있는 유일한 경우는 절연체 상태에서 영온도 극한이 잘못 취해질 경우이며, 이 경우 $\mu$ 가 유한온도 상태 방정식과 일치하지 않는다.