[논문 리뷰] On the Martingale Property of Certain Local Martingales: Criteria and Applications

Aleksandar Mijatović, Mikhail Urusov|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 1차원 확산 모델에서 연속 국소 martingale의 확률적 지수(exp)가 진정한 martingale 또는 균일적 적분 가능한 martingale가 되기 위한 결정론적 필수 및 필요조건을 수립한다. 기저가 되는 확산 과정과 함수 b의 드리프트 및 분산 계수를 분석함으로써, 과정이 거의 확실히 양수이거나 0으로 수렴하는지를 판단할 수 있는 기준을 도출하며, 이는 확산 기반 자산 가격 모델에서 금융 버블을 탐지하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Abstract. The stochastic exponential Zt = exp{Mt − M0 − (1/2)〈M, M〉t} of a continuous local martingale M is itself a continuous local martingale. We give a necessary and sufficient condition for the process Z to be a true martingale in the case where Mt = R t b(Yu) dWu and 0 Y is a one-dimensional diffusion driven by a Brownian motion W. Furthermore, we provide a necessary and sufficient condition for Z to be a uniformly integrable martingale in the same setting. These conditions are deterministic and expressed only in terms of the function b and the drift and diffusion coefficients of Y. We also classify, via deterministic necessary and sufficient conditions, when the process Z is a.s. strictly positive, when its limit Z ∞ is a.s. strictly positive, and when Z∞ is a.s. zero. This allows us to obtain a deterministic necessary and sufficient condition in the one-dimensional setting for a discounted stock price to be a true martingale under the risk-neutral measure, and for it to be a uniformly integrable martingale. These results enable us to ascertain the existence of financial bubbles in diffusion-based models. Finally, we

연구 동기 및 목표

• 1차원 확산 설정에서 연속 국소 martingale의 확률적 지수(exp)가 진정한 martingale가 되는 결정론적이고 검증 가능한 조건을 규명하는 것.
• 확률적 지수(exp)가 균일적 적분 가능한 martingale가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 드리프트, 분산, 함수 b를 기반으로 과정의 거의 확실한 양수성과 그 극한의 성질을 분류하는 것.
• 이러한 결과를 적용하여 위험 중립 측도 하에서 할인된 주가가 진정한 martingale가 되는 조건을 규명하는 것.
• 확산 기반 자산 가격 모델에서 금융 버블을 탐지하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 분석은 Brownian motion W에 의해 구동되는 1차원 확산 Y에 의해 정의되는 연속 국소 martingale Mt = ∫₀ᵗ b(Yᵤ) dWᵤ의 형태에 집중한다.
• Zₜ = exp{Mt − M₀ − ½⟨M, M⟩ₜ}인 확률적 지수(exp)를 연구하여, 이것이 언제 진정한 martingale가 되는지를 규명한다.
• 기저가 되는 확산 Y의 경로적 행동과 함수 b를 이용하여 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 조건들은 경로에 대한 확률적 가정 없이, Y의 드리프트 및 분산 계수와 함수 b의 형태로만 표현된다.
• 이 방법은 1차원 확산의 구조를 활용하며, 폭발과 재귀성 분석을 통해 암시적으로 Feller 국소시간 또는 척도 함수 기법을 활용한다.
• 결과는 위험 중립 가격 설정에 적용되어, 할인된 주가의 martingale 성질을 평가하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 확산 설정에서 연속 국소 martingale의 확률적 지수(exp)가 진정한 martingale가 되기 위한 결정론적 조건은 무엇인가?
• RQ2 확률적 지수(exp)가 균일적 적분 가능한 martingale가 되는 조건은 무엇이며, 이러한 성질을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 확률적 지수(exp)가 모든 유한한 시간에서 거의 확실히 양수이며, 극한에서도 그렇게 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 확률적 지수(exp)의 극한이 거의 확실히 0이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 조건들은 어떻게 확산 기반 자산 가격 모델에서 금융 버블을 탐지하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 확률적 지수(exp) Zₜ가 진정한 martingale가 되기 위한 필요 및 충분 조건은 기저 확산 Y의 드리프트 및 분산 계수와 함수 b의 형태로만 표현된다.
• Zₜ가 균일적 적분 가능한 martingale가 되기 위한 결정론적 필요 및 충분 조건이 제공되며, 이 역시 b와 Y의 계수에만 의존한다.
• 과정 Zₜ가 모든 t ≥ 0에서 거의 확실히 양수이기 위한 필요 및 충분 조건은 b와 Y의 척도 함수에 대한 특정 적분 조건을 만족하는 것이다.
• 극한 Z∞가 거의 확실히 양수이기 위한 필요 및 충분 조건은 과정 Y가 폭발하지 않으며, b가 척도 함수와 관련된 특정 적분 조건을 만족하는 것이다.
• Z∞가 거의 확실히 0이 되기 위한 필요 및 충분 조건은 과정 Y가 척도 함수가 발산하는 경계에 도달하고, b가 충분히 빠르게 증가하는 것이다.
• 이러한 결과들은 위험 중립 측도 하에서 할인된 주가가 진정한 martingale가 되기 위한 결정론적 기준을 제공하며, 이는 1차원 확산 모델에서 자산 가격 버블을 탐지할 수 있도록 한다.