[논문 리뷰] On the $\mathcal L$-invariant of the adjoint of a weight one modular form

Martí Roset, Víctor Rotger외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무게 1 모듈라 형식의 고정 표현에 관련된 두 L-불변량의 등식을 증명한다: 하나는 p-진 L-함수의 도수를 통한 해석적 정의이고, 다른 하나는 그린버그의 보편 노름 구성에 의한 대수적 정의이다. 국소체 이론과 전역 단위 및 p-단위의 p-진 로그를 사용하여, 저자들은 이러한 불변량들이 계수 체의 곱셈군에 모odular한 것으로 보여주며, 특히 약한 조건 하에서 이국적 형식을 포함한 넓은 범위에서 그린버그의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The purpose of this article is proving the equality of two natural $\mathcal L$-invariants attached to the adjoint representation of a weigth one cusp form, each defined by purely analytic, respectively algebraic means. The proof departs from Greenberg's definition of the algebraic $\mathcal L$-invariant as a universal norm of a canonical $\mathbb{Z}_p$-extension of $\mathbb{Q}_p$ associated to the representation. We relate it to a certain $2 imes 2$ regulator of $p$-adic logarithms of global units by means of class field theory, which we then show to be equal to the analytic $\mathcal L$-invariant computed by Rivero and the second author.

연구 동기 및 목표

• 무게 1 모듈라 형식의 수반 표현에 부착된 두 개의 서로 다른 L-불변량의 등식을 증명한다: 하나는 p-진 L-함수의 도수로부터 유도된 해석적 불변량이고, 다른 하나는 그린버그의 보편 노름 구성에 의해 정의된 대수적 불변량이다.
• 특수한 경우(예: g ∈ S₁(23,η) 이고 p=23일 때)에서 그린버그의 이전 계산을 일반적인 프레임워크로 확장하여, 그의 즉흥적인 계산을 개념적이고 더 넓은 맥락에 둔다.
• Galois 코hom올로지와 Qp의 Zp-확장에 의해 정의된 대수적 L-불변량이, p-구분된, 비유도적이고 기약인 mod p Galois 표현을 가진 무게 1 모듈라 형식의 경우 해석적 L-불변량과 같다는 것을 증명한다.
• 전역 단위와 p-단위의 p-진 로그를 통해 대수적 L-불변량을 일관된 공식으로 표현하며, 이는 이전 연구에서 얻은 해석적 공식과 일치시킨다.
• 그린버그의 추측, 즉 두 L-불변량이 같아야 한다는 추측을, 특히 α ≠ −β 조건을 만족하는 이국적 형식에 대해 약한 추가 가정 하에 검증한다.

제안 방법

• p-진 L-함수 Lp(ad₀(gα), s)의 s=1에서의 첫 번째 도수로 해석적 L-불변량을 정의한다. 이 값은 p-진 제타 함수 인자에서의 극으로 인해 0이 된다.
• Lp(g, g*, s) = ζp(s)Lp(ad₀(gα), s)의 인수분해를 사용하여, 수반 표현의 p-진 L-함수와 전체 자기환원 공간의 p-진 L-함수를 연결한다.
• 대수적 L-불변량 LGr(ad₀(gα))를 그린버그의 구성에 의해 표현한다: Q 위의 H¹(Q, ad₀(g)⊗Qp)에서 유래하는 전역 코hom올로지 클래스로부터 유도된 보편 노름이다.
• 국소체 이론을 적용하여 보편 노름을 전역 단위와 p-단위의 p-진 로그와 연결한다. 특히 정수환의 힐베르트 국소체 H와 그에서 p에서의 분해 체 H₁에 대해 고려한다.
• 군환 L[∆] 내의 ∆-등변 호모모르피즘과 프로젝터를 사용하여 코hom올로지 클래스를 분해하고, p에서의 타원형 작용에 해당하는 성분을 추출한다.
• 코hom올로지 클래스의 분해에서 핵심 계수 b를 θχ(w) = b(θχ(ε₁),...,θχ(ε₁)) + cz₁의 형태로 계산하며, 이를 uβ/α와 vβ/α의 p-진 로그 비율과 연결함으로써 해석적 공식과의 연결을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그린버그의 추측에 따르면, 무게 1 모듈라 형식의 수반 표현에 대해 해석적 L-불변량과 대수적 L-불변량이 같아야 하는가?
• RQ2 그린버그가 S₁(23,η)에서의 특수한 경우에 대해 수행한 계산을 다른 무게 1 모듈라 형식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 Zp-확장에서 보편 노름을 통해 정의된 대수적 L-불변량은 전역 단위와 p-단위의 p-진 로그로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ4 대수적 L-불변량의 코hom올로지적 구성과 p-진 L-함수의 도수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 두 L-불변량의 등식은 이국적 형식에 대해서도 성립하는가? 이를 보장하기 위해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 가정 (A1–A3) 하에서, 그리고 이국적 형식의 경우 추가 조건 α ≠ −β를 만족할 때, 대수적 L-불변량 LGr(ad₀(gα))는 L×에 모odular한 해석적 L-불변량 Lan(ad₀(gα))와 동치이다.
• 대수적 L-불변량은 명시적으로 LGr(ad₀(gα)) ≡ logₚ(v₁) − logₚ(vβ/α) / logₚ(uβ/α) logₚ(u₁) (mod Q×) 로 계산되며, 여기서 u와 v는 GQ-등변 호모모르피즘으로 단위군에 값이 있다.
• 코hom올로지 클래스의 분해에서 계수 b는 −logₚ(vβ/α)/logₚ(uβ/α) 와 같다는 것이 입증되어, 대수적 표현과 해석적 표현 간의 연결이 가능해진다.
• 증명은 보편 노름 x의 p-진 로그가 b와 logₚ(θχε₁)를 포함하는 공식으로 결정됨을 보여주며, 이는 [RR, 정리 A’]에서 얻은 해석적 공식과 정확히 일치한다.
• 결과적으로 이는 그린버그의 추측을 이전에 애매하게 여겨졌던 Γ₀(23)에서의 무게 1 형식과 p=23인 경우를 포함한 넓은 범위에서 확인한다.
• 핵심적인 기술적 다리로, ∆-등변성과 군환 내 프로젝터를 사용하여 H¹(Q, V)의 코hom올로지 클래스를 단위와 p-단위의 p-진 로그의 조합으로 식별함으로써 성립한다.