[논문 리뷰] On the $\mathrm{L}^p$-theory for second-order elliptic operators in divergence form with complex coefficients

Tom Ter Elst, Robert Haller‐Dintelmann외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 15.

Advanced Harmonic Analysis Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소계수를 가진 2차 미분형 타입 타원형 연산자에 대한 $\mathrm{L}^p$-이론을 수립하기 위해 $p$-타원성 조건을 도입함으로써, $\mathrm{L}^p(\Omega)$에서 유계 분석적 반군을 생성하는 데 필요한 $p$의 범위를 특징짓는다. 주요 결과는 혼합 딜레르흐-뉴먼 조건 하에서 분석적 반군 생성에 대한 정확한 범위 $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ 를 제시하는 것으로, 최대 정규성과 $\mathrm{H}^\infty$-계산법을 $\mathrm{L}^p$ 및 쌍대 공간으로 확장한다.

ABSTRACT

Given a complex, elliptic coefficient function we investigate for which values of $p$ the corresponding second-order divergence form operator, complemented with Dirichlet, Neumann or mixed boundary conditions, generates a strongly continuous semigroup on $\mathrm{L}^p(Ω)$. Additional properties like analyticity of the semigroup, $\mathrm{H}^\infty$-calculus and maximal regularity are also discussed. Finally we prove a perturbation result for real coefficients that gives the whole range of $p$'s for small imaginary parts of the coefficients. Our results are based on the recent notion of $p$-ellipticity, reverse Hölder inequalities and Gaussian estimates for the real coefficients.

연구 동기 및 목표

• 복소계수를 가진 2차 타원형 분산형 연산자 $-A = -\nabla \cdot \mu \nabla$ 가 $\mathrm{L}^p(\Omega)$에서 강한 연속 반군을 생성하는 데 필요한 $p \in (1,\infty)$ 의 범위를 결정하는 것.
• 해당 연산자가 분석성, $\mathrm{H}^\infty$-계산법, 최대 평행 정규성 등의 추가 성질을 갖는 조건을 특징짓는 것.
• 실수계수 이론을 초월하여, $\mathrm{L}^p$-환경에서 실수 타원성의 대체로 사용되는 $p$-타원성 조건을 도입하고 활용하는 것.
• 작은 허수부를 가진 실수계수에 대한 편미분 결과를 증명하여, 작은 복소수 편미분 하에서도 전체 $p$-값 범위가 유지됨을 보이는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\mathrm{L}^p$에서 연산자가 적극적이고 분야가 정해진다는 조건을 보장하는 계수 행렬 $\mu$에 대한 $p$-타원성 개념을 도입한다.
• 실수계수에 대한 역 헬더 부등식과 가우스 확산 추정을 기초 도구로 삼아 결과를 복소계수로 확장한다.
• 주요 기술적 도구는 $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$와 $\mathrm{L}^q(\Omega)$ 사이의 위상적 동형사상 $E_q^\mu$ 를 구성하는 것으로, 반군과 함수해석학 계산법을 $\mathrm{L}^q$에서 쌍대 공간으로 이전한다.
• $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$에서의 생성자 $B_q^\mu$ 는 형식 연산자 $\mathcal{A}$ 의 부분으로 정의되어 $\mathrm{L}^p$-이론과의 일치를 보장한다.
• $\mathrm{L}^q(\Omega)$에서의 유계 헬름홀트 함수해석학 계산법과 최대 정규성은 위상 동형사상 $E_q^\mu$ 를 통해 $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$로 이전된다.
• 기하학적 조건을 만족하는 영역(예: $d$-집합 및 $(d-1)$-집합 경계)에서 혼합 경계 조건에 적용된다. 이는 추적 및 확장 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소계수를 가진 분산형 연산자 $-A = -\nabla \cdot \mu \nabla$ 가 $\mathrm{L}^p(\Omega)$에서 강한 연속 반군을 생성하는 $p$의 값은 무엇인가?
• RQ2 $-A$ 가 생성하는 반군이 분석적이 되는 조건은 무엇이며, 분석성에 대한 정확한 $p$의 범위는 무엇인가?
• RQ3 $\mathrm{H}^\infty$-계산법과 최대 평행 정규성이 실수계수에서 $\mathrm{L}^2$ 에서 복소계수의 $\mathrm{L}^p$ 으로 확장 가능한가?
• RQ4 $p$-타원성 조건은 연산자가 분야가 정해지고, 유계 분석적 반군을 생성하는 데 필요한 $p$의 범위와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 작은 허수 편미분은 실수계수 연산자의 $\mathrm{L}^p$-이론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연산자 $-A$ 는 모든 $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ 에 대해 $\mathrm{L}^p(\Omega)$에서 유계 분석적 반군을 생성한다. 여기서 $p_0(\mu)$ 는 $p$-타원성에서 유도된 임계 지수이다.
• $\mathrm{L}^q(\Omega)$에서 $\mathrm{H}^\infty$-계산법은 $q \in \left[2, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ 에서 유계이며, $\mathrm{L}^2$-연산자와 동일한 분야 각도를 가진다.
• $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$에서의 생성자 $B_q^\mu$ 는 최대 평행 정규성을 갖는다. 이는 $\mathrm{L}^q$-이론을 위상 동형사상 $E_q^\mu$ 를 통해 유도한 결과이다.
• $A_{p}^{(\mu^*)}+1$ 의 제곱근의 수반은 $\mathrm{W}^{-1,q}_D(\Omega)$ 에서 $\mathrm{L}^q(\Omega)$ 로의 위상적 동형사상이며, $\mathrm{L}^2$-경우와 일관된다.
• 작은 허수부를 가진 실수계수의 경우, $\mathrm{L}^p$-이론이 성립하는 전체 $p$-값의 범위는 작은 편미분 하에서도 유지된다.
• 결과는 $\Omega$ 가 $d$-집합이고 $D \subset \partial\Omega$ 가 $(d-1)$-집합인 조건 하에서 비구형 영역과 혼합 경계 조건으로 일반화된다.