[논문 리뷰] On the Maximal Number of Real Mutually Unbiased Bases

Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|2005. 02. 03.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 3인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 R^d에서의 실수 상호직교 기저(Real MUBs)의 최대 개수를 조사하며, 실수 MUB 쌍은 오직 차원 2 또는 4의 배수에서만 존재 가능하고, 삼중체는 오직 제곱수 차원에서만 존재 가능하다는 것을 증명한다. 또한 d = 2^{2m}일 때 실수 MUB의 최대 개수는 (d+2)/2임을 규명하였으며, d = s^2이고 s가 2의 거듭제곱이 아니며 짝수일 경우, s 차원 히트만드 행렬이 존재한다면 N_MOLS(s)+2의 하한값이 성립한다. 이는 두 개의 실수 MUB가 존재할 조건과 히트만드 추측 사이의 연관성을 제시한다.

ABSTRACT

In this note I point out that (1) pairs of real mutually unbiased bases (i.e., orthonormal bases of R^d) can only exist in dimensions 2 or d where d is a multiple of 4 and that (2) triples of real mutually unbiased bases can only exist for dimensions d that are also squares. For the case d=2^{2m} the maximal number of real MUBs is given by (d+2)/2 (this follows from known results on extremal euclidean line-sets). In the case d=s^2 where s is an even number that is not a power of 2, we have the lower bound N_MOLS(s)+2, where N_MOLS(s) denotes the maximal number of mutually orthogonal Latin square of order s, provided that there exists a Hadamard matrix of size s. It is not known how good this bound is. Moreover, I observe that the question of deciding if there always two real MUBs is equivalent to the Hadamard conjecture.

연구 동기 및 목표

• R^d에서 실수 상호직교 기저(MUBs)의 최대 개수를 결정하는 것.
• 실수 MUB 쌍과 삼중체의 존재에 필요한 차원 d의 조건을 규명하는 것.
• 특히 2의 거듭제곱이 아니며 짝수인 정수의 제곱인 경우, 실수 MUB의 개수에 대한 하한값을 설정하는 것.
• 두 개의 실수 MUB가 존재하는 것과 오랫동안 남아있는 히트만드 추측 사이의 연관성을 연결하는 것.

제안 방법

• R^d에서의 정규직교 기저를 분석하여 실수 상호직교 기저의 존재 조건을 유도하는 것.
• d = 2^{2m}일 때, 극한 유클리드 선집 이론을 적용하여 실수 MUB의 최대 개수를 결정하는 것.
• 서로 직교하는 라틴 제곱(MOLS) 이론을 활용하여, s가 짝수이지만 2의 거듭제곱이 아닐 경우 d = s^2에 대해 하한값을 도출하는 것.
• s 차원의 히트만드 행렬 존재를 활용하여 이러한 차원에서 N_MOLS(s)+2의 하한값이 유효함을 검증하는 것.
• 두 개의 실수 MUB가 존재하는 것과 히트만드 추측 사이의 동치성을 확립하는 것.
• 조합 및 대수 기법을 활용하여 실수 MUB 구성의 구조적 제약 조건을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 상호직교 기저 쌍이 존재할 수 있는 차원 d는 무엇인가?
• RQ2 실수 MUB 삼중체의 존재에 필요한 d의 조건은 무엇인가?
• RQ3 d = 2^{2m}일 때 실수 MUB의 최대 개수는 얼마인가?
• RQ4 d = s^2이고 s가 짝수일 때, 서로 직교하는 최대 라틴 제곱의 수와 실수 MUB의 하한값 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 모든 차원 d에서 두 개의 실수 MUB가 존재하는 것과 히트만드 추측이 동치인가?

주요 결과

• 실수 상호직교 기저 쌍은 오직 d = 2 또는 d ≡ 0 (mod 4)인 차원에서만 존재할 수 있다.
• 실수 상호직교 기저 삼중체는 오직 d가 완전제곱수일 때에만 존재할 수 있다.
• d = 2^{2m}일 때 실수 MUB의 최대 개수는 (d+2)/2이며, 이는 극한 유클리드 선집 이론에서 유도된다.
• d = s^2이고 s가 짝수이며 2의 거듭제곱이 아니면, s 차원의 히트만드 행렬이 존재할 경우 실수 MUB의 개수에 대해 N_MOLS(s)+2의 하한값이 존재한다.
• 모든 차원 d에서 두 개의 실수 MUB가 존재하는 것은 히트만드 추측과 동치이다.
• d = s^2에 대해 N_MOLS(s)+2의 하한값이 최적임은 알려져 있지 않으며, 그 최적성은 여전히 미해결 문제로 남아 있다.