[논문 리뷰] On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums

Hong Liu, Maryam Sharifzadeh외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 27.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 {1, ..., n}의 부분집합에 대해 각 색상 클래스가 슈어 삼중항(즉, x + y = z의 해)을 포함하지 않는 r-색칠의 최대 개수를 조사한다. r = 2인 경우, f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}임을 증명하며, 최적 집합은 홀수이거나 크기가 ⌈n/2⌉인 간격이다. r ≤ 5인 경우, 선형 프로그래밍을 사용하여 log f(n,r)의 점근적 값을 구하며, 최적 집합이 홀수이거나 간격의 합집합과 가까운 것으로 나타난다.

ABSTRACT

Let $f(n,r)$ denote the maximum number of colourings of $A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n brace$ with $r$ colours such that each colour class is sum-free. Here, a sum is a subset $\lbrace x,y,z brace$ such that $x+y=z$. We show that $f(n,2) = 2^{\lceil n/2 ceil}$, and describe the extremal subsets. Further, using linear optimisation, we asymptotically determine the logarithm of $f(n,r)$ for $r \leq 5$. Similar results were obtained by Hàn and Jiménez in the setting of finite abelian groups.

연구 동기 및 목표

• f(n,r)을 결정하는 것, 즉 각 색상 클래스가 합-free(스루 삼중항을 포함하지 않음)인 부분집합 A ⊆ {1,…,n}의 r-색칠의 최대 개수.
• 그래프 이론에서의 에르되시-로스틸드 문제를 클리크 대신 슈어 삼중항을 사용하는 합-free 설정으로 확장하는 것.
• f(n,r)을 달성하는 최적 집합을 특성화하고, 작은 r에 대해 그 구조를 이해하는 것.
• 선형 최적화 기법을 사용하여 r ≤ 5에 대해 log f(n,r)의 점근적 값을 구하는 것.
• 최적 집합의 안정성과 r = 4,5에 대해 구조적 근사치를 추측하는 것.

제안 방법

• f(n,r)을 정의: 각 색상 클래스가 합-free인 임의의 부분집합 A ⊆ {1,…,n}에 대한 r-색칠의 최대 개수.
• 최적 조합론과 안정성 방법을 사용하여 최대 색칠을 달성하는 집합의 구조를 분석.
• r = 2인 경우, 최적 집합이 홀수이거나 크기가 ⌈n/2⌉인 간격임을 증명하며, f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}를 도출.
• r ≤ 5인 경우, 밀도와 합-free 성질에 대한 제약 조건을 모델링하기 위해 선형 프로그래밍을 적용하여 log f(n,r)의 점근적 경계를 유도.
• 피쿠르코 등에 의해 영감을 얻은 레이어링 접근법을 사용하여 문제를 합-free 구성에 대한 유한 최적화로 환원.
• 최적 집합이 홀수이거나 간격의 합집합과 대칭 차이에서 o(n) 이내여야 한다는 것을 보여주는 안정성 결과를 확립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 {1,…,n}인 부분집합에 대해, 어떤 색상 클래스도 슈어 삼중항을 포함하지 않는 2-색칠의 최대 개수는 얼마인가요?
• RQ2 r ∈ {3,4,5}일 때, log f(n,r)의 점근적 성장률은 무엇이며, 최적 집합은 어떤 구조적 성질을 가지나요?
• RQ3 f(n,r)을 달성하는 최적 집합은 홀수이거나 간격의 합집합과 가까운 것으로 특성화될 수 있나요?
• RQ4 r ≤ 5에 대해, 합-free 집합에서 유도된 자명한 하한값이 타당한가요, 아니면 최적 그래프가 많은 슈어 삼중항을 포함하나요?
• RQ5 선형 프로그래밍 기법을 사용하여 r = 6과 같이 더 큰 r에 대해 정확하거나 점근적 결과를 도출할 수 있나요?

주요 결과

• r = 2인 경우, f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}이며, 최적 집합은 홀수이거나 크기가 ⌈n/2⌉인 간격이다.
• f(n,2)를 달성하는 최적 집합은 정확히 최대 크기의 합-free 집합이며, 즉 홀수이거나 크기가 ⌈n/2⌉인 간격이다.
• r ≤ 5인 경우, log f(n,r)는 선형 프로그래밍을 통해 점근적으로 결정되며, log f(n,r) = h(r) · n + o(n) 형태의 어떤 h(r)에 대해 성립한다.
• r = 4 및 r = 5에 대한 최적 집합은 홀수이거나 홀수와 특정 간격의 합집합과 구조적으로 유사하다.
• 안정성 결과에 따르면, r = 4에 대해 최적 집합은 홀수, I₂ 또는 그들의 합집합과 대칭 차이에서 o(n) 이내여야 한다.
• r ≥ 6인 경우, 여러 종류의 합-free 구성에 대한 고려가 필요하여 방법이 훨씬 더 복잡해지며, 문제는 여전히 열려 있다.