[논문 리뷰] On the mean stability of a class of switched linear systems

Masaki Ogura, Clyde F. Martin|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 21.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 L^p-노름 공동 스펙트럴 반경을 사용하여 이산시간 스토케스틱 스위치 선형 시스템에 대해 p차 평균 안정성과 차수 p의 동차 라플라스 함수의 존재성 간의 동치성을 확립한다. 또한 p→∞일 때 p차 평균 안정성이 관련된 결정론적 스위치 시스템의 절대 점근적 안정성으로 수렴하며, 마코프 스위치 시스템에 대해서는 행렬 스펙트럴 반경 조건을 통해 계산 가능한 특성 조건을 제공한다.

ABSTRACT

This paper investigates the mean stability of a class of discrete-time stochastic switched linear systems using the $L^p$-norm joint spectral radius of the probability distributions governing the switched systems. First we prove a converse Lyapunov theorem that shows the equivalence between the mean stability and the existence of a homogeneous Lyapunov function. Then we show that, when $p$ goes to $\infty$, the stability of the $p$th mean becomes equivalent to the absolute asymptotic stability of an associated deterministic switched system. Finally we study the mean stability of Markovian switched systems. Numerical examples are presented to illustrate the results.

연구 동기 및 목표

• p차 평균 안정성과 차수 p의 동차 라플라스 함수의 존재성 간의 역 라플라스 정리 수립
• p→∞일 때 p차 평균 안정성의 점진적 행동을 조사하고, 이와 관련된 결정론적 스위치 시스템의 절대 점근적 안정성과의 관계 규명
• 불변 조건 하에서 마코프 스위치 시스템으로의 안정성 특성화 확장
• 선형 행렬 부등식 또는 고유값 문제를 통한 행렬 스펙트럴 반경을 이용한 p차 평균 안정성의 계산 가능한 기준 제공

제안 방법

• 스위치 선형 시스템의 p차 평균 안정성 분석을 위한 핵심 도구로 L^p-노름 공동 스펙트럴 반경 도입
• 약한 불변 조건 하에서 p차 평균 안정성이 차수 p의 동차 라플라스 함수의 존재성과 동치임을 보여주는 역 라플라스 정리 증명
• 한계 동치 도출: p→∞일 때 p차 평균 안정성은 관련된 결정론적 스위치 시스템의 절대 점근적 안정성과 동치가 된다
• 전이 확률과 크로네커 곱을 사용해 크기 Nd^p × Nd^p인 행렬 T_p를 구성하고, 이 행렬의 스펙트럴 반경 ρ(T_p)를 계산함으로써 p차 평균 안정성을 특성화
• 상태 궤적에 대한 선형 연산자 L을 정의하고, 그 스펙트럴 성질과 공동 스펙트럴 반경을 연결함으로써 마코프 스위치 시스템에 이 프레임워크 적용
• 실용적 안정성 검증을 위해 Corollary V.3를 활용해 ρ_p,A = ρ(T_p)^{1/p}를 계산하고, 표준 고유값 해소기법을 통한 수치적 검증 가능화

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스위치 선형 시스템의 p차 평균 안정성이 차수 p의 동차 라플라스 함수의 존재성과 동치인가?
• RQ2 p→∞일 때 p차 평균 안정성은 어떻게 변화하며, 결정론적 스위치 시스템 안정성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 불변 조건 하에서 마코프 스위치 시스템의 p차 평균 안정성은 L^p-노름 공동 스펙트럴 반경을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 안정성 조건은 어떻게 구조화된 행렬 T_p의 계산 가능한 스펙트럴 반경 조건으로 축소될 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크를 사용해 마코프 스위치 시스템에 대해 피드백 이득을 체계적으로 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 짝수 p에 대해 p차 평균 안정성은 차수 p의 동차 라플라스 함수의 존재성과 동치이며, 특정한 불변 조건 하에서는 일반적인 p에 대해서도 이 동치성 유지
• p→∞일 때 p차 평균 안정성은 관련된 결정론적 스위치 시스템의 절대 점근적 안정성과 동치가 되며, 공동 스펙트럴 반경의 한계에 관한 기존 결과를 확장
• 마코프 스위치 시스템의 경우 p차 평균 안정성은 ρ_p,A < 1로 특성화되며, 이는 T_p의 스펙트럴 반경 ρ(T_p) < 1과 동치이며, T_p는 전이 확률과 시스템 행렬로부터 유도된 크로네커-구조 행렬
• 스펙트럴 반경 ρ_p,A는 ρ(T_p)^{1/p}로 계산 가능하여 표준 고유값 해소기법을 통한 효율적 수치 계산 가능
• 수치 결과는 피드백 이득 f = [0.36, 0.50]을 사용할 경우 3모드 마코프 시스템에서 첫 번째 순간 안정성이 달성되며, ρ_1,A+bf = 0.9554 < 1임을 보여줌
• 표본 경로는 안정화 효과를 시각화: 원래 시스템(점선)은 발산하는 반면, 제어된 시스템(실선)은 기댓값에 대해 수렴함으로써 이론적 결과를 확인