[논문 리뷰] On the Medianwidth of Graphs

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 03.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 트리 대신 중앙값 그래프를 기본 구조로 사용하는 트리 분해의 일반화인 중앙값 분해를 소개한다. $i$-중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i(G)$는 $i=1$일 때 트리 폭에서 시작하여 $i$가 증가함에 따라 클리크 수 $\omega(G)$로 수렴하는 폭 매개변수의 계층을 정의하며, 색수 $\chi(G)$와도 일치하는 변형이 존재하여, 유계 트리 폭을 초월하는 그래프 클래스에 대한 새로운 구조적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

A median graph is a connected graph, such that for any three vertices $u,v,w$ there is exactly one vertex $x$ that lies simultaneously on a shortest $(u,v)$-path, a shortest $(v,w)$-path and a shortest $(w,u)$-path. Examples of median graphs are trees and hypercubes. We introduce and study a generalisation of tree decompositions, to be called median decompositions, where instead of decomposing a graph $G$ in a treelike fashion, we use general median graphs as the underlying graph of the decomposition. We show that the corresponding width parameter $ ext{mw}(G)$, the medianwidth of $G$, is equal to the clique number of the graph, while a suitable variation of it is equal to the chromatic number of $G$. We study in detail the $i$-medianwidth $ ext{mw}_i(G)$ of a graph, for which we restrict the underlying median graph of a decomposition to be isometrically embeddable to the Cartesian product of $i$ trees. For $i\geq 1$, the parameters $ ext{mw}_i$ constitute a hierarchy starting from treewidth and converging to the clique number. We characterize the $i$-medianwidth of a graph to be, roughly said, the largest "intersection" of the best choice of $i$ many tree decompositions of the graph. Lastly, we extend the concept of tree and median decompositions and propose a general framework of how to decompose a graph $G$ in any fixed graphlike fashion.

연구 동기 및 목표

• 트리 대신 중앙값 그래프를 기본 분해 구조로 사용하여 트리 분해를 일반화한다.
• 중앙값 폭 $\operatorname{mw}(G)$를 정의하고 연구하여, 이가 클리크 수 $\omega(G)$와 동일하다는 것을 보인다.
• $i$-중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i(G)$를 도입하여, 이는 $i$개의 트리의 카티esian 곱에 등급적으로 통합 가능한 중앙값 그래프로 제한된 분해를 의미한다.
• 중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i(G)$가 트리 폭에서 클리크 수로 수렴하는 비감소 계층을 이룬다는 것을 증명한다.
• 중앙값 폭과 그래프 색칠 문제 간의 관계를 탐색하며, 색수 $\chi(G)$와 일치하는 변형을 제시한다.

제안 방법

• 중앙값 그래프의 볼록 부분그래프를 백팩으로 사용하여 중앙값 분해를 정의하며, 트리 분해 개념을 일반화한다.
• 중앙값 그래프에서의 헬리 성질과 볼록성을 이용하여 백팩 간의 일관된 교차 행동을 보장한다.
• 중앙값 그래프의 구조적 성질을 통해 $\operatorname{mw}(G)$가 클리크 수 $\omega(G)$와 동일하다고 특성화한다.
• 기본 중앙값 그래프를 $i$개의 트리의 카티esian 곱에 등급적으로 통합 가능한 것으로 제한함으로써 $i$-중앙값 폭을 도입한다.
• 색수 $\chi(G)$와의 관계를 설정하기 위해 약하게-$\Theta$-스무쓰 중앙값 분해를 정의한다.
• 스무쓰 중앙값 폭(중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i$의 변형)이 $\chi(G)$와 동일하다는 것을 증명하여, 트리 폭과 브램블 사이의 이중성과 유사한 이중성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트리 대신 중앙값 그래프를 기본 구조로 사용하여 트리 분해를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 중앙값 폭 $\operatorname{mw}(G)$와 클리크 수 $\omega(G)$와 같은 전통적 그래프 매개변수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $i$-중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i(G)$는 트리 폭에서 클리크 수로 수렴하는 적절한 계층을 형성하는가?
• RQ4 중앙값 분해의 변형이 색수 $\chi(G)$를 포괄할 수 있으며, 만약 가능하면 그 방식은 무엇인가?
• RQ5 유계 $i$-중앙값 폭을 가진 그래프에서 $i$-중앙값 폭의 알고리즘적 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 그래프 $G$의 중앙값 폭 $\operatorname{mw}(G)$는 정확히 클리크 수 $\omega(G)$와 동일하다.
• $i$-중앙값 폭 $\operatorname{mw}_i(G)$는 비감소 계층을 이룬다: $\operatorname{tw}(G)+1 = \operatorname{mw}_1(G) \geq \operatorname{mw}_2(G) \geq \cdots \geq \operatorname{mw}(G) = \omega(G)$.
• $i \geq 1$일 때, $\operatorname{mw}_i(G)$는 $G$의 최적의 $i$개 트리 분해의 최대 '교차'로 해석할 수 있다.
• 약하게-$\Theta$-스무트로 불리는 중앙값 분해의 변형은 색수 $\chi(G)$와 동일한 폭 매개변수를 제공한다.
• $i$-중앙값 폭 계층은 진정한 계층이다: 각 수준은 완전 $i$-분할 그래프가 임의로 큰 $\operatorname{mw}_i(G)$를 달성할 수 있기에 유계가 아니다.
• 다음에도 불구하고, $i \geq 2$일 때 그래프의 $i$-중앙값 폭 계산이 고정 매개변수 트랙태블러블한지 여부는 알려져 있지 않다. 클리크 수 문제의 경우 W[1]-완전임에도 불구하고.