[논문 리뷰] On the mild Itô formula in Banach spaces

Sonja Cox, Arnulf Jentzen외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유형 2를 지닌 UMD(무조건적 마틴갈 차이) 바나흐 공간으로 경량 이토 공식을 일반화하여, 힐버트 공간을 초월한 적용 가능성을 넓힌다. 주요 기여는 바나흐 공간 내에서 경량 이토 과정을 분석하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공함으로써, 확률적 편미분방정식(SPDE)의 수치적 근사에 대해 거의 정확한 약한 수렴 속도를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The mild Ito formula proposed in Theorem 1 in [Da Prato, G., Jentzen, A., \& Röckner, M., A mild Ito formula for SPDEs, arXiv:1009.3526 (2012), To appear in the Trans.\ Amer.\ Math.\ Soc.] has turned out to be a useful instrument to study solutions and numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDEs) which are formulated as stochastic evolution equations (SEEs) on Hilbert spaces. In this article we generalize this mild Itô formula so that it is applicable to solutions and numerical approximations of SPDEs which are formulated as SEEs on UMD (unconditional martingale differences) Banach spaces. This generalization is especially useful for proving essentially sharp weak convergence rates for numerical approximations of SPDEs.

연구 동기 및 목표

• SPDE에 대한 적용 가능성을 넓히기 위해 경량 이토 공식을 힐버트 공간에서 유형 2를 지닌 UMD 바나흐 공간으로 일반화한다.
• 무한 차원에서 표준 이토 공식이 경량 또는 약한 해의 SPDE에 대해 실패하는 문제점을 해결한다.
• SPDE 수치 근사의 거의 정확한 약한 수렴 속도를 증명하기 위한 이론적 기반을 제공한다.
• 경량 이토 과정의 바나흐 공간 설정에서 다항식 성장성을 갖는 시험 함수가 적분 가능해지는 조건을 설정한다.
• 경량 딘킨 유형 공식 및 경량 이토 과정의 종단값에 대한 약한 추정을 바나흐 공간 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 진화 가족, 경량 드리프트 및 경량 분산 계수를 사용하여 UMD 바나흐 공간 내에서 경량 이토 과정을 정의한다.
• 유형 2를 지닌 UMD 바나흐 공간에 값이 있는 과정을 위한 새로운 경량 이토 공식(정리 3.5)을 도입하여 힐버트 공간 사례를 일반화한다.
• γ-라돈이니파잉 연산자 및 네미츠키 및 곱셈 연산자의 성질을 활용하여 자연스러운 시험 함수를 구성한다.
• 균일 적분 가능성과 버크홀더-데이비스-건디 유형 부등식에 기반하여, 경량 이토 공식을 통해 종단값에 대한 약한 추정을 수립한다.
• 모멘트 한계와 확률적 적분 추정을 사용하여 다항식 성장성을 갖는 시험 함수의 수렴성 및 적분 가능성을 증명한다.
• 이론을 적용하여 바나흐 공간 설정에서 경량 딘킨 유형 공식 및 종단값에 대한 약한 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경량 이토 공식은 힐버트 공간에서 유형 2를 지닌 UMD 바나흐 공간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 경량 이토 공식은 바나흐 공간 내에서 SPDE의 수치 근사에 대한 약한 수렴 속도를 증명하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ3 경량 이토 과정의 바나흐 공간 설정에서 다항식 성장성을 갖는 시험 함수가 적분 가능해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 γ-라돈이니파잉 연산자 및 진화 가족의 성질은 어떻게 바나흐 공간 값 과정으로의 이토 미적분의 확장을 지원하는가?
• RQ5 UMD 성질과 유형 2는 비힐버트 공간으로의 경량 이토 공식 일반화를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 경량 이토 공식은 성공적으로 유형 2를 지닌 UMD 바나흐 공간으로 일반화되었으며, 이는 힐버트 공간을 초월한 적용 가능성을 넓힌다.
• 일반화된 공식은 SPDE 수치 근사에 대해 거의 정확한 약한 수렴 속도를 도출하는 데 기여한다.
• 초기 값, 드리프트 및 분산 계수에 대한 적절한 모멘트 조건 하에서 다항식 성장성을 갖는 시험 함수가 적분 가능하다는 것이 입증된다.
• 증명은 바나흐 공간 내에서 확률적 적분의 모멘트를 제어하기 위해 균일 적분 가능성과 버크홀더-데이비스-건디 유형 부등식에 기반한다.
• 경량 딘킨 유형 공식 및 종단값에 대한 약한 추정은 바나흐 공간 설정에서 확립되었으며, 이는 SPDE 해를 분석하는 데 도구를 제공한다.
• 이 프레임워크는 네미츠키 및 곱셈 연산자를 일반화된 경량 이토 공식 내 자연스러운 시험 함수의 예로 지원한다.