[논문 리뷰] On the Milnor classes of local complete intersections

R. Callejas-Bedregal, M. F. Z. Morgado외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수 벡터(bundle)의 정규 단면에 의해 정의된 국소 완전교차의 총 밀너 클래스에 대한 공식을 수립한다. 이는 프로젝티브화된 쌍대 벡터(bundle) 내의 초곡면의 밀너 클래스로 표현하며, 이는 전이성과 차수(class)의 조작을 통해 파루시ński-프라카츠 및 알루피 유형의 공식을 완전교차 설정으로 일반화한다. 이는 특이 대수기하학에서 전역 레 사이클과 밀너 불변량 사이의 다리를 놓는다.

ABSTRACT

In this work we study algebraic, geometric and topological properties of the Milnor classes of local complete intersections with arbitrary singularities. We describe first the Milnor class of the intersection of a finite number of hypersurfaces, under certain conditions of transversality, in terms of the Milnor classes of the hypersurfaces. Using this description we obtain a Parusiński-Pragacz type formula, an Aluffi type formula and a description of the Milnor class of the local complete intersection in terms of the global Lê cycles of the hypersurfaces that define it. We consider next the general case of a local complete intersection $Z(s)$ defined by a regular section $s$ of a rank $r$ holomorphic bundle $E$ over a compact manifold $M$, $r \geq 2$. We notice that $s$ determines a hypersurface $Z( ilde s)$ in the total space of the projectivization $\mathbb{P}(E^{\vee})$ of the dual bundle $E^{\vee}$, and we give a formula expressing the total Milnor class of the local complete intersection $Z(s)$ in terms of the Milnor classes of the hypersurface $Z( ilde s)$.

연구 동기 및 목표

• 초곡면에서의 밀너 클래스 공식을 임의의 특이성을 가진 국소 완전교차로 확장하는 것.
• 국소 완전교차의 밀너 클래스와 정의하는 초곡면의 전역 레 사이클 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 파루시ński-프라카츠 및 알루피 유형의 공식을 완전교차의 경우로 일반화하는 것.
• 국소 완전교차의 총 밀너 클래스에 대한 보편 공식을 프로젝티브화된 쌍대 벡터(bundle) 내의 관련 초곡면의 밀너 클래스로 유도하는 것.

제안 방법

• 국소 완전교차의 교차에서의 특이성을 제어하기 위해 위트니 분할과 전이 조건을 사용하는 것.
• 오모토와 요쿠라의 곱 밀너 클래스에 관한 연구를 적용하여, 완전교차의 밀너 클래스를 초곡면의 밀너 클래스와 스미스-맥퍼슨 클래스의 조합으로 유도하는 것.
• 쌍대 벡터(bundle)의 타우토로지컬 라인 벡터(bundle)을 활용하여 단면을 올리고, 원래의 완전교차와 관련된 초곡면을 정의하는 것.
• 원래 단면의 밀너 클래스와 올라간 초곡면의 밀너 클래스 사이의 관계를 유도하기 위해 투영 공식과 프로젝티브 벡터(bundle)의 접속 벡터(bundle) 및 상대 접속 벡터(bundle)를 포함한 차수(class) 항등식을 사용하는 것.
• 벡터(bundle)의 정확한 수열에 관한 보조정리 6.3을 적용하여, 최상위 차수(class)와 역차수(class)를 통해 연속된 영점의 집합 사이의 밀너 클래스를 연결하는 것.
• 쌍대 벡터(bundle), 타우토로지컬 라인 벡터(bundle), 상대 접속 벡터(bundle)를 포함한 특성 클래스 표현의 후퇴를 통해 주요 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크 r의 복소수 벡터(bundle)의 정규 단면에 의해 정의된 국소 완전교차의 밀너 클래스는 프로젝티브화된 쌍대 벡터(bundle) 내의 관련 초곡면의 밀너 클래스로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 국소 완전교차의 밀너 클래스와 그를 정의하는 초곡면의 전역 레 사이클 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 초곡면에 대한 파루시ński-프라카츠 및 알루피 유형의 공식은 완전교차 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 쌍대 벡터(bundle)와 타우토로지컬 라인 벡터(bundle)의 차수(class)는 국소 완전교차의 밀너 클래스 표현에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 왜 프로젝티브화된 쌍대 벡터(bundle)는 원래의 국소 완전교차의 위상수학적 및 대수적 불변량을 어떻게 캡슐화하는가?

주요 결과

• 국소 완전교차 $ Z(s) $의 총 밀너 클래스는 $ {\rm M}(Z(s)) = p_*\big( c(p^*E^\bullet \otimes \mathcal{O}(1))^{-1} c_1(\mathcal{O}(1))^{r-1} c(F)^{-1} c_{\rm top}(F) \cap {\rm M}(Z(\tilde{s})) \big) $ 로 주어지며, 여기서 $ \tilde{s} $ 는 $ \mathbb{P}(E^\vee) $ 에서 유도된 단면이다.
• 파루시ński-프라카츠 유형의 공식이 국소 완전교차에 대해 $ c_1(L_i) $ 의 다항식으로 얻어지며, 초곡면에 대해 알려진 공식을 확장한다.
• 밀너 클래스는 정의하는 초곡면의 전역 레 사이클과 정리 5.4를 통해 연결되며, 이는 위상기하학적 해석을 제공한다.
• 알루피 유형의 공식은 $ \mu $-클래스를 사용하여 유도되며, 이는 완전교차의 밀너 클래스를 초곡면의 밀너 클래스로 표현한다.
• 공식은 전이성에 의한 웨이트니 분할의 선택에 대해 불변이며, 개별 $ X_i $ 의 분할 사이의 전이성 조건을 가정할 때도 성립한다.
• 이전의 초곡면에 대한 연구를 일반화하며, 프로젝티브 기하학과 특성 클래스를 사용하여 국소 완전교차의 밀너 클래스를 체계적으로 계산하는 방법을 제공한다.