[논문 리뷰] On the minimum diameter of plane integral point sets

Sascha Kurz, Alfred Wassermann|ArXiv.org|2008. 04. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 19인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 평면 상의 정수 거리 점 집합—모든 쌍 간 거리가 정수이고 모든 점이 일직선상에 있지 않은 구성—의 최소 지름을 조사한다. 체계적 탐색과 순서 있는 생성 알고리즘을 사용하여 저자들은 새로운 정확한 값을 도출하였으며, 이는 에르되시 문제의 첫 번째 확인된 해를 포함한다: 일반 위치(세 점이 일직선상에 있지 않으며, 네 점이 한 원주상에 있지 않음)에서 7개 점의 최소 지름은 22,270이다. 이 연구는 최소 지름 구성이 종종 n−1개의 일직선상 점을 포함함을 드러내며, 이는 지수의 로그 인자까지 거의 일치하는 새로운 하한을 도출한다.

ABSTRACT

Since ancient times mathematicians consider geometrical objects with integral side lengths. We consider plane integral point sets $\mathcal{P}$, which are sets of $n$ points in the plane with pairwise integral distances where not all the points are collinear. The largest occurring distance is called its diameter. Naturally the question about the minimum possible diameter $d(2,n)$ of a plane integral point set consisting of $n$ points arises. We give some new exact values and describe state-of-the-art algorithms to obtain them. It turns out that plane integral point sets with minimum diameter consist very likely of subsets with many collinear points. For this special kind of point sets we prove a lower bound for $d(2,n)$ achieving the known upper bound $n^{c_2\log\log n}$ up to a constant in the exponent. A famous question of Erdős asks for plane integral point sets with no 3 points on a line and no 4 points on a circle. Here, we talk of point sets in general position and denote the corresponding minimum diameter by $\dot{d}(2,n)$. Recently $\dot{d}(2,7)=22 270$ could be determined via an exhaustive search.

연구 동기 및 목표

• 모든 쌍 간 거리가 정수이고 모든 점이 일직선상에 있지 않은 평면 상의 정수 거리 점 집합에 대해 최소 지름 d(2,n)의 정확한 값을 결정하는 것.
• 이러한 최소 지름 구성의 구조를 조사하며, 특히 많은 점들이 일직선상에 있거나 한 원주상에 있는지 여부를 탐구하는 것.
• 에르되시의 열린 문제를 해결하는 것—일반 위치(세 점이 일직선상에 있지 않으며, 네 점이 한 원주상에 있지 않음)에서 n=7에 대해 ḋ(2,n)의 존재성과 값이 존재하는지 확인하는 것.
• 큰 부분집합이 일직선상에 있을 경우 d(2,n)에 대한 새로운 하한을 설정하는 것—이것은 알려진 상한과 지수의 상수 인자까지 거의 일치한다.

제안 방법

• 단일 집합을 확장하는 대신, 두 개의 정수 거리 점 집합을 조합하여 더 큰 집합을 만드는 새로운 변형의 순서 있는 생성 기법을 사용한 체계적 탐색.
• 정수 거리가 있는 점 집합을 체계적으로 탐색하고 검증하기 위해 클리크 탐색 알고리즘을 사용.
• 주어진 정수 거리 점 집합 내의 비퇴화 삼각형에 대해 일정한 값을 유지하는 삼각형의 특성으로 정의된 바, 이는 (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)의 제곱 자유 부분이다.
• 일직선상 정수 거리 점 집합의 거리와 정수의 인수 분해 간의 수론적 연결 고리를 확립하여, 이러한 구성의 효율적 생성을 가능하게 하였다.
• n^δ 개의 일직선상 점을 포함하는 정수 거리 점 집합의 지름에 대한 하한을 유도하기 위해, 이러한 구성의 수와 정수 위에서의 곱 함수의 증가율 간의 관계를 규명하였다.
• 고정된 삼각형 특성과 지름을 가진 표준 정수 거리 점 집합의 수를 분석하여 일반 구성으로의 하한 확장을 위한 전략을 제안하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 n ≥ 9일 때, 작은 n에 대해 최소 지름 d(2,n)의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 반일직선 위치(세 점이 일직선상에 있지 않음)에 있는 평면 정수 거리 점 집합이 항상 한 원주상에 있는가?
• RQ3 일반 위치(세 점이 일직선상에 있지 않으며, 네 점이 한 원주상에 있지 않음)에서 일곱 점에 대한 최소 지름 ḋ(2,7)은 무엇이며, 이는 오랫동안 남아있던 에르되시의 문제를 해결하는가?
• RQ4 n ≥ 9일 때, 모든 최소 지름 평면 정수 거리 점 집합이 n−1개의 일직선상 점을 포함하는가?
• RQ5 높은 정도로 일직선상에 있는 구성에 제한을 두지 않고도, 알려진 상한 n^{c₂ log log n}과 거의 일치하는 날것의 하한을 d(2,n)에 대해 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 위치에서 일곱 점에 대한 최소 지름 ḋ(2,7)은 정확히 22,270이며, 이는 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• n ≤ 36일 때, 반일직선 위치에서 알려진 모든 최소 지름 평면 정수 거리 점 집합은 반지름 r = z/k√k (k ∈ {3,7,15}, z는 많은 소인수를 가진 정수)인 원주상에 있다.
• 9 ≤ n ≤ 122일 때, 최소 지름 평면 정수 거리 점 집합은 n−1개의 일직선상 점과 직선 외부의 한 점으로 구성되며, 이는 n ≥ 9일 때 이러한 구성이 최적일 것이라는 추측을 지지한다.
• n^δ 개 이상의 일직선상 점을 포함하는 정수 거리 점 집합의 지름에 대한 새로운 하한을 확립하였다: 충분히 큰 n에 대해 diam(P) ≥ n^{δ/(4 log 2(1+ε)) log log n}이며, 이는 알려진 상한과 지수의 상수 인자까지 거의 일치한다.
• 수치적 증거는 고정된 지름 d와 삼각형 특성을 가진 표준 정수 거리 점 집합의 수가 O(d^{c/log log d})의 속도로 증가함을 시사한다. 이것이 증명된다면, 적절한 상수 c′, c''에 대해 d(2,n) ≥ c′ n^{c'' log log n}의 하한을 도출할 수 있다.
• 이 논문은 최소 지름 정수 거리 점 집합의 구조가 수론적 성질—특히 정수의 인수 분해와 원주상의 유리수 거리 분포—와 깊이 연결되어 있음을 강력한 계산적 증거로 제시한다.