[논문 리뷰] On the moments of roots of Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur law

Miklós Kornyik, György Michaletzky|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 16.

Random Matrices and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라거르 다항식 $ L_p^{(\beta)} $의 근의 모멘트와 마르첸코-파스투르 분포 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다. $ \alpha_p/p \to c > -1 $일 때, 근의 $ k $-번째 거듭제곱 합의 주요 항이 마르첸코-파스투르 법칙의 $ k $-번째 모멘트와 일치함을 증명함으로써, 이는 라거르 다항식의 재귀적 성질과 조합적 경로 수세기 기반으로 이루어진다. 이는 큰 $ p $의 극한에서 경험적 근 분포가 마르첸코-파스투르 법칙으로의 약한 수렴을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we compute the leading terms in the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$, the Laguerre-polynomial of degree $p$ with parameter $α$. The connection between the Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur distribution is expressed by the fact, among others, that the limiting distribution of the empirical distribution of the normalized roots of the Laguerre-polynomials is given by the Marchenko-Pastur distribution. We give a direct proof of this statement based on the recursion satisfied by the Laguerre-polynomials. At the same time, our main result gives that the leading term in $p$ and $(α+p)$ of the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$ coincides with the $k^{th}$ moment of the Marchenko-Pastur law. We also mention the fact that the expectation of the characteristic polynomial of a $XX^T$ type random covariance matrix, where $X$ is a $p imes n$ random matrix with iid elements, is $\ell^{(n-p)}_p$, i.e. the monic version of the $p^{th}$ Laguerre polynomial with parameter $n-p$.

연구 동기 및 목표

• 라거르 다항식의 근 모멘트와 마르첸코-파스투르 분포 사이의 직접적인 분석적 연결 고리를 확립하기 위해.
• 경험적 근 분포가 정규화된 근을 중심으로 마르첸코-파스투르 법칙으로의 약한 수렴을 복소해석학을 사용하지 않고 증명하기 위해.
• 라거르 다항식 $ L_p^{(\beta)} $의 $ k $-번째 거듭제곱 합의 주요 점근적 행동을 $ p $와 $ \alpha + p $의 관점에서 계산하기 위해.
• 라거르 다항식이 $ XX^T $ 랜덤 공분산 행렬의 특성다항식의 생성함수로서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 라거르 다항식이 만족하는 재귀식을 이용하여 근의 $ k $-번째 거듭제곱 합의 점근 전개를 유도한다.
• 조합적 경로 수세기 모델을 도입하여 점근 전개의 계수를 식별하며, 근의 거듭제곱 합을 격자 경로 위의 가중합으로 모델링한다.
• 정규화된 근의 모멘트에 기반한 생성함수 $ \mathcal{M}_p^{(\alpha)}(z) $를 정의하고, 이와 켤레 다항식의 로그 도함수와 연결한다.
• 생성함수에 대해 $ p \to \infty $의 극한에서 고정점 추론을 적용하여, 마르첸코-파스투르 법칙의 생성함수로 수렴함을 보인다.
• 확률변수 $ X $가 $ p \times n $ 크기이고 평균 0, 분산 1인 i.i.d.일 때, $ XX^T $의 특성다항식 기대값이 단항 라거르 다항식 $ \ell_p^{(n-p)} $임을 이용한다.
• 격자 경로에 대한 잘라내고 붙이기 변환을 적용하여 $ (k,1) $에서 끝나는 유효한 경로를 세며, 상승 단계가 $ j $개인 경로의 수가 $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라거르 다항식 $ L_p^{(\alpha)} $의 근의 $ k $-번째 거듭제곱 합의 주요 항이 마르첸코-파스투르 분포의 $ k $-번째 모멘트와 일치하는가?
• RQ2 라거르 다항식의 재귀식만을 사용하여 정규화된 근의 경험적 분포가 마르첸코-파스투르 법칙으로의 약한 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ3 $ M_p^{(\alpha)}(k) = \sum_{i=1}^p (\xi_{p,i}^{(\alpha)})^k $의 정확한 점근적 형태는 $ p $와 $ \alpha + p $의 관점에서 어떻게 표현되는가?
• RQ4 격자 경로의 조합적 구조는 라거르 다항식 근의 모멘트 전개의 계수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 점근 전개에서 $ M_p^{(\alpha)}(k) $의 주요 항은 $ \sum_{j=1}^k \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $이며, 이는 마르첸코-파스투르 법칙의 $ k $-번째 모멘트와 일치한다.
• $ \alpha_p / p \to c > -1 $일 때, $ L_p^{(\alpha_p)} $의 정규화된 근의 경험적 분포는 마르첸코-파스투르 분포 $ \mu_c $로 약하게 수렴한다.
• $ c \geq 0 $일 경우, 극한 측도 $ \mu_c $는 절대연속이며, 밀도함수는 $ \frac{\sqrt{(x_+-x)(x-x_-)}}{2\pi x} \mathbf{1}_{[x_-,x_+]}(x) $이며, 여기서 $ x_\pm = (\sqrt{c+1} \pm 1)^2 $이다.
• 즉, $ \alpha < 0 $이 정수일 수 없더라도 (복소근이 존재할 수 있음) $ k $-번째 모멘트가 여전히 $ \mu_c $의 $ k $-번째 모멘트로 수렴하지만, 이 경우 극한 측도는 $ \mathbb{R}_+ $ 위에 지지되지 않는다.
• 점수 $ (k,1) $에서 끝나며 상승 모서리가 $ j $개인 유효한 격자 경로의 수는 $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $이며, 이는 점근 전개에서 $ p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $의 계수와 정확히 일치한다.