[논문 리뷰] On the moments of the Riemann zeta-function in short intervals

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|2008. 07. 08.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설 하에 $H = T^\theta$, $0 < \theta \leq 1$ 인 짧은 간격 $[T, T+H]$에서 리만 제타함수의 $2k$-번째 모멘트에 대한 상계를 확립한다. 수음라라잔의 방법에 영감을 받은 $\log|\zeta(1/2 + it)|$의 큰 값 추정을 사용하여, $\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$ 를 증명하며, 이는 이전 결과를 개선하여 지수의 $\varepsilon$-손실을 명시적인 $o(1)$ 오차 항으로 대체한다.

ABSTRACT

Assuming the Riemann Hypothesis it is proved that, for fixed $k&gt;0$ and $H = T^θ$ with fixed $0

연구 동기 및 목표

• 리만 가설 하에 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 에 대한 수음라라잔의 $L^2$-모멘트 상계를 $H = T^\theta$ 인 짧은 간격 $[T, T+H]$로 일반화하는 것.
• 수음라라잔의 상계에서 지수의 $\varepsilon$-손실을 $\log_3 T$ 에 따라 의존하는 명시적 $o(1)$ 항으로 대체하는 것.
• 리만 가설 하에 짧은 간격에서 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트에 대한 날카운 상계를 확립하는 것.
• 대부분의 값 추정 방법을 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 에 대해 짧은 간격으로 확장하여 지수의 오차 항의 정밀도를 향상시키는 것.

제안 방법

• 수음라라잔의 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 에 대한 큰 값 추정 방법을 길이 $H = T^\theta$ 인 짧은 간격에 적응하는 것.
• 반드시 망골트 함수와 설파의 방법을 통해 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 의 절단된 딜리클레 다항식 근사 사용.
• 이중 분할을 적용하고, $\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ 인 집합의 측도를 $V$ 의 세 가지 서로 다른 범위에서 추정하는 것.
• 소수와 그 여집합에 대한 지수 합 $S_1(t)$ 와 $S_2(t)$ 의 모멘트 추정을 사용하며, 소수에 대한 합의 모멘트 추정에 관한 보조정리 3 적용.
• 스티링거의 근사와 $r$ 에 대한 최적화를 통해 측도 추정에서 지수 항을 최소화하는 것.
• 세 가지 경우의 측도 추정을 결합하여 모멘트 적분의 최종 상계를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수음라라잔의 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트 상계에서 지수의 $\varepsilon$-손실을 $\log_3 T$ 에 따라 의존하는 명시적 $o(1)$ 항으로 대체할 수 있는가?
• RQ2 리만 가설 하에 $H = T^\theta$ 이고 $0 < \theta \leq 1$ 일 때, $\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 의 최선의 가능한 상계는 무엇인가?
• RQ3 대부분의 값 추정 방법이 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 에 대해 짧은 간격으로 어떻게 확장되며, 어떤 개선이 필요한가?
• RQ4 상계의 지수를 짧은 간격에서 알려진 하한 $H(\log H)^{k^2}$ 와 일치시키기 위해 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 리만 가설 하에 $H = T^\theta$ 인 $[T, T+H]$ 에서 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트는 $\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$ 를 만족한다.
• 지수의 오차 항은 명시적으로 $O(1/\log_3 T)$ 이며, $T \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하므로, 수음라라잔의 원래 상계에서의 $\varepsilon$-손실을 초월한다.
• 이 상계는 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ 에 대한 큰 값 추정을 통해 유도되며, $V$ 의 세 가지 범위로 나누어 각각 다른 모멘트 추정과 최적화가 필요하다.
• $V \leq \log_2 T$ 인 경우, $\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ 인 $t \in [T, T+H]$ 의 측도는 $H \frac{V}{\sqrt{\log_2 T}} \exp\left(-\frac{V^2}{\log_2 T}\left(1 - \frac{7}{2\theta \log_3 T}\right)\right)$ 로 유계화된다.
• $V \geq \frac{1}{2}\theta \log_2 T \log_3 T$ 인 경우, 측도는 $H \exp(-\frac{1}{20}\theta V \log V)$ 로 감소하여 큰 값의 급격한 감소를 반영한다.
• 현재 기법으로는 $\log_2 T \ll H \leq T$ 의 전체 범위로는 방법이 확장되지 않으며, 지수의 $O(1/\log_3 T)$ 항은 현재 기법으로는 제거할 수 없다.