[논문 리뷰] On the Mori cone of blow-ups of the plane

Tommaso de Fernex|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 프로젝티브 평면을 매우 일반적인 점들에 대해 블로우업한 경우의 모리 코너에 대한 세그레-하르부르너-지밀리아노-히르슈비츠(SHGH) 추측의 오해를 수정한다. K-음성 극단선과 유효 코너의 기하학 간의 상호작용을 분석하여, r ≥ 10인 경우 모리 코너가 가산적으로 생성되지 않으며, K-양성 부분이 원형이 아니라는 것을 증명한다 — 이는 이전에 주장된 동치성과 반대된다. 핵심 결과는 r ≥ 10일 때 모리 코너의 경계에 비가산 많은 극단선이 존재한다는 것이다.

ABSTRACT

We discuss some properties of the extremal rays of the cone of effective curves of surfaces that are obtained by blowing up the projective plane at points in very general position. The main motivation is to rectify an incorrect interpretation, in terms of the geometry of this cone, of the Segre--Harbourne--Gimigliano--Hirschowitz conjecture. Even though the arguments are based on elementary computations, the point of view leads to observe some other properties of the Mori cone, among which the fact that in the case of ten or more points the cone is not countably generated.

연구 동기 및 목표

• 매우 일반적인 점들에 대해 P²의 블로우업에 대한 모리 코너 기하학적 관점에서 SHGH 추측의 잘못된 해석을 수정하는 것.
• K-음성 극단선과 모리 코너의 구조, 특히 K-양성 부분 간의 관계를 명확히 하는 것.
• r ≥ 10일 때 모리 코너의 K-양성 부분이 원형이 아니라는 것을 입증하는 것(즉, Q ∩ K≥0 와 같지 않다), 이는 이전에 주장된 동치성과 반대된다.
• r ≥ 10일 때 K-수직 경계에 비가산 많은 극단선이 존재하기 때문에, 모리 코너가 가산적으로 생성되지 않는다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• r개의 매우 일반적인 점들에 대해 블로우업한 X의 모리 코너를 N₁(X)에서의 쌍대성과 코너 정리에 의해 분석한다.
• K-음성 극단선이 (−1)-곡선들에 의해 생성된다는 사실을 이용하고, 음의 자기교차수를 갖는 유리곡선에 관한 기존 결과를 적용한다.
• Y를 10개의 점에 대한 블로우업으로 하고, 압축 사상 g: X → Y를 적용하여 문제를 낮은 랭크의 경우로 축소한다.
• Y에서 K_Y와 수직이면서 (−1)-선들의 스트레스에 속하지 않는 네프 클래스를 올려서 모리 코너 경계에 비가산 많은 극단선을 구성한다.
• r ≥ 10에 대한 귀납법을 사용하여, 블로우다운 사상 아래에서 클래스의 투영을 통해 어떤 선들이 K-음성 및 K-양성 성분으로 분해될 수 없다는 것을 보인다.
• 만약 클래스 α가 α² = 0 이고 K·α = 0 를 만족하고, 네프일 경우, 적절한 조건 하에 α가 Nef(X)와 NE̅(X) 양쪽 모두에서 극단선을 생성한다는 사실을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P²를 r ≥ 10개의 매우 일반적인 점들에 대해 블로우업한 경우, 모리 코너의 K-양성 부분은 쌍곡면 Q와 K≥0의 교집합과 같은가?
• RQ2 SHGH 추측이 r ≥ 10일 때 모리 코너의 경계가 원형임을 암시할 수 있는가?
• RQ3 r ≥ 10일 때 모리 코너에 비가산 많은 극단선이 존재하는가?
• RQ4 r ≥ 10일 때 K-음성 면이 존재하면, 모리 코너가 원형이 아니게 되는가?
• RQ5 r ≥ 10개의 매우 일반적인 점들에 대해 블로우업한 모리 코너는 가산적으로 생성되지 않는가?

주요 결과

• r ≥ 10일 때 모리 코너의 K-양성 부분은 Q ∩ K≥0보다 엄밀히 크므로, 코너는 원형이 아니다.
• r ≥ 10일 때 P²의 블로우업에 대한 모리 코너는 경계에 비가산 많은 극단선이 존재하기 때문에 가산적으로 생성되지 않는다.
• α가 Y의 클래스의 역상이고 α² = 0, K·α = 0 를 만족할 경우, R = R(α)는 NE̅(X)와 Nef(X) 양쪽 모두의 극단선이며, 어떤 (−1)-선의 스트레스에도 속하지 않는다.
• r = 10일 때 모리 코너의 K-양성 부분이 원형이 되는 것은 (−1)-곡선 추측이 성립할 때에 한하여 성립하지만, r > 10로 확장되지 않는다.
• r ≥ 10일 때 모리 코너의 K-양성 부분이 원형이다(즉, Q ∩ K≥0 와 같다)는 가정은 잘못되었으며, 이는 이전에 주장된 동치성과 모순된다.
• r ≥ 10일 때 모리 코너의 K-수직 경계에 비가산 많은 극단선이 존재한다는 것은, 코너가 가산적으로 생성되지 않는다는 것을 의미한다.