[논문 리뷰] On the motive of zero-dimensional Quot schemes on a curve

Massimo Bagnarol, Fantechi Barbara외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 캐비닛 C 위의 국소 자유층 E의 0차원 몫을 매개변수화하는 Quot 스킴의 클래스가, 구체적인 E에 관계없이 랭크 r과 길이 n에만 의존함을 증명한다. Grothendieck 다항식환에서 $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^\oplus r)]$ 를 얻으며, 대칭곱을 이용한 명시적 공식을 제시하고, 기약성과 Poincar\'e 다항식을 계산한다.

ABSTRACT

For any locally free coherent sheaf on a fixed smooth projective curve, we study the class, in the Grothendieck ring of varieties, of the Quot scheme that parametrizes zero-dimensional quotients of the sheaf. We prove that this class depends only on the rank of the sheaf and on the length of the quotients. As an application, we obtain an explicit formula that expresses it in terms of the symmetric products of the curve.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영적인 곡선 C 위의 국소 자유층에 대한 0차원 몫을 매개변수화하는 Quot 스킴의 클래스를 다양체의 Grothendieck 환에서 연구하는 것.
• 이 클래스가 특정 층에 의존하는지, 아니면 랭크와 몫의 길이에만 의존하는지 결정하는 것.
• 이 클래스를 곡선의 대칭곱을 이용해 명시적으로 표현하고, Quot 스킴의 기약성을 증명하는 것.
• 기존의 경우 $ r=1 $ 인 경우, $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C) \cong \mathrm{Sym}^n(C) $ 를 일반화하여 높은 랭크의 층으로 확장하는 것.

제안 방법

• 각 몫의 지지부를 보내는 자연스러운 준동형사상 $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $ 를 정의한다.
• σ의 섬유들이 열린 부분집합 U ⊂ C 위에서 Quot 스킴와 동형이며, 그 동형 타입이 층 E의 랭크 r에만 의존함을 보인다.
• 다중지표 $ \mathbf{a} \in \mathbb{N}^r $ 에 따라 $ |\mathbf{a}| = n $ 이 되는 첨자로 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 를 분할한다; 이는 서로소 열린 부분집합들 위에서 몫의 차수에 대응한다.
• 스킴 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 와 $ \mathrm{Q}^{n-|\mathbf{a}|}_U(\mathscr{E}) \times F_r(D) $ 사이의 동형사상을 구성한다; 여기서 D는 지지부이고, $ F_r(D) $ 는 D 위에서 랭크 r의 몫들로 이루어진 플라그 다양체이다.
• Grothendieck 환의 덧셈성질을 적용하여 $ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ 를 $ \mathbf{a} \in A $ 에 대해 합으로 표현하고, $ \mathscr{E}|_U $ 가 자명하므로 $ \mathscr{O}_C^{\oplus r} $ 의 경우로 환원한다.
• Bifet(1989)의 결과를 활용하여 대칭곱 $ \mathrm{Sym}^{n_i}(C) $ 와 $ \mathbb{A}^1_k $ 의 거듭제곱을 이용한 명시적 공식을 유도하며, 지수는 $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Grothendieck 다항식환에서 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 의 클래스가 층 E의 랭크와 길이 n에만 의존하는지, 아니면 특정 층 $ \mathscr{E} $ 에도 의존하는가?
• RQ2 $ [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] $ 가 대칭곱 $ \mathrm{Sym}^m(C) $ 의 클래스로 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 Quot 스킴 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 는 기약적인가? (이미 스킴이 매끄럽다는 것은 알려져 있음)
• RQ4 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 의 Poincar\'e 다항식은 무엇이며, 이는 곡선 C의 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 다양체의 Grothendieck 환에서 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 의 클래스는 국소 자유층 $ \mathscr{E} $ 의 선택에 관계없이, $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = [\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r})]$ 를 만족하며, 랭크 r과 길이 n에만 의존한다.
• 명시적 공식이 도출된다: $[\mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E})] = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^r, |\mathbf{n}|=n} [\mathrm{Sym}^{n_1}(C)] \cdots [\mathrm{Sym}^{n_r}(C)] \cdot [\mathbb{A}^1_k]^{d_{\mathbf{n}}} $, 여기서 $ d_{\mathbf{n}} = \sum_{i=1}^r (i-1)n_i $.
• Quot 스킴 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 는 기약적이다. 이는 Poincar\'e 다항식에서 $ t^0 $ 의 계수가 1이며, 이는 오직 $ \mathbf{n} = (n,0,\dots,0) $ 일 때에만 달성되기 때문이다.
• $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) $ 의 Poincar\'e 생성함수는 $ \prod_{i=0}^{r-1} \frac{(1 + t^{2i+1}u)^{2g}}{(1 - t^{2i}u)(1 - t^{2i+2}u)} $ 로 주어지며, 여기서 $ g $ 는 곡선 C의 종수이다.
• $ \sigma: \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{E}) \to \mathrm{Sym}^n(C) $ 의 섬유들은 랭크 r의 몫들로 이루어진 플라그 다양체와 동형이며, 이 섬유들은 E에 관계없이 오직 r에만 의존한다.
• Quot 스킴의 동형 타입은 층 $ \mathscr{E} $ 를 선다발로 곱해도 유지되지만, $ r=1 $ 이 아닐 경우 스킴 자체는 $ \mathrm{Q}^n_C(\mathscr{O}_C^{\oplus r}) $ 와 동형이 아니다.