[논문 리뷰] On the multiple holomorph of a finite almost simple group

Cindy Tsang|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 22.

Finite Group Theory Research참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유한한 거의 단순군 $G$에 대해 몫군 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$의 순서가 2임을 증명하며, 비아벨 단순군과 유사한 구조적 강성 구조를 확립한다. 증명은 고정점이 없는 내면사상과 힐로모르 내부의 정규부분군을 분석하여, $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$를 통해 동형 유형의 호프-갈로와스 구조를 세는 공식을 이끌어낸다.

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $\mathrm{Perm}(G)$ denote its symmetric group and write $\mathrm{Hol}(G)$ for the normalizer of the subgroup of left translations in $\mathrm{Perm}(G)$. The multiple holomorph $\mathrm{NHol}(G)$ of $G$ is in turn defined to be the normalizer of $\mathrm{Hol}(G)$ in $\mathrm{Perm}(G)$. In this paper, we shall show that the quotient group $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ has order two when $G$ is finite and almost simple. As an application of our techniques, we shall also develop a method to count the number of Hopf-Galois structures of isomorphic type on a finite almost simple extension in terms of fixed point free endomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 유한한 거의 단순군 $G$에 대해 다중 힐로모르 $\mathrm{NHol}(G)$ 의 구조를 규명하여, 단순군과 아벨군에 대해 알려진 결과를 확장한다.
• $\mathrm{Hol}(G)$ 의 $G$ 와 동형인 정규부분군의 집합 $\mathcal{H}_2(G)$ 를 이해하고, 고정점이 없는 내면사상에 따라 크기를 계산한다.
• 유한한 거의 단순 확장에서 동형 유형의 호프-갈로와스 구조를 세는 방법을 개발한다. 이는 $G$ 의 내면사상 구조를 활용한다.
• 비아벨 단순군에서 관찰된 현상—즉, $\mathcal{H}_0(G) = \{\lambda(G), \rho(G)\}$ 이고 $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이다—을 더 넓은 거의 단순군의 범주로 일반화한다.

제안 방법

• $\mathrm{NHol}(G) = \mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(\mathrm{Hol}(G))$ 를 정의하고, $\mathrm{Perm}(G)$ 내의 정규부분군 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$ 중 $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ 를 만족하는 집합 $\mathcal{H}_0(G)$ 에 대한 그 작용을 분석한다.
• $\xi_N: N \to G$ 에 의해 유도되는 $\mathrm{Perm}(N) \to \mathrm{Perm}(G)$ 의 동형사상 $\Xi_N$ 을 사용하여 $\mathrm{Hol}(N)$ 과 $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N)$ 을 연결하고, $N \in \mathcal{H}_0(G)$ 일 때 $\mathrm{Hol}(N) \simeq \mathrm{Hol}(G)$ 를 도출한다.
• $G$ 와 동형인 $\mathrm{Hol}(G)$ 의 정규부분군을 쌍 $(f, h) \in \mathrm{End}(G) \times \mathrm{Aut}(G)$ 를 통해 특성화한다. 이 쌍은 고정점이 없어야 하며, 즉 모든 $g \in G$ 에 대해 $f(g)h(g) \neq g$ 를 만족해야 한다.
• 고정점이 없는 이러한 쌍과 $\mathrm{Hol}(G)$ 내의 정규부분군 사이의 전단사 관계를 확립하여 공식 $\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 를 이끌어낸다.
• 유한 단순군의 분류(CFSG)와 같은 군론적 도구를 사용하여 $[G:\mathrm{Soc}(G)] = p$ 가 소수일 때 $\mathrm{Soc}(G)$ 와 그 부분군의 구조를 분석한다.
• 레마 5.4 를 적용하여, $\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 를 소수 $p$ 인덱스를 가진 정규부분군 $H \trianglelefteq G$ 에 대해 합산함으로써 계산한다. 이때 $p$ 차 순환군 생성자 $\sigma$ 가 $H$ 에 속해 있는지 여부에 따라 경우를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 거의 단순군 $G$ 에 대해 다중 힐로모르 $\mathrm{NHol}(G)$ 의 구조는 무엇인가?
• RQ2 $\mathrm{Hol}(G)$ 의 $G$ 와 동형인 정규부분군의 집합 $\mathcal{H}_2(G)$ 의 크기는 $G$ 의 내면사상 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 유한한 거의 단순 확장에서 동형 유형의 호프-갈로와스 구조의 수는 고정점이 없는 내면사상으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 는 비아벨 단순군에서 관찰된 것처럼 모든 유한한 거의 단순군에서 순서가 2인가?

주요 결과

• 모든 유한한 거의 단순군 $G$ 에 대해 몫군 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 의 순서는 2이며, 즉 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이다. 이는 비아벨 단순군에 대해 알려진 결과를 일반화한다.
• $\mathrm{Hol}(G)$ 의 $G$ 와 동형인 정규부분군의 수는 $\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 로 주어지며, 여기서 $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 는 $G$ 의 고정점이 없는 내면사상의 집합을 나타낸다.
• $\mathrm{Soc}(G)$ 가 $G$ 에 대해 소수 $p$ 차 인덱스를 가질 때, 고정점이 없는 내면사상의 수는 $\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G) = \#\{\sigma \in \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\} + \frac{p-2}{p-1} \cdot \#\{\sigma \in G \setminus \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\}$ 로 주어진다.
• $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ 를 만족하는 정규부분군 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$ 의 집합 $\mathcal{H}_0(G)$ 는 $\mathrm{NHol}(G)$ 가 $\mathcal{H}_0(G)$ 에 작용하는 궤도와 전단사 관계가 있으며, 이 작용은 정규이므로 $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 이다.
• 개발된 방법을 통해 $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ 의 기수를 이용하여, 유한한 거의 단순 확장에서 동형 유형의 호프-갈로와스 구조를 명시적으로 세는 것이 가능하다.
• 단순군의 경우와 달리 $\mathcal{H}_2(G)$ 가 크더라도 결과는 그대로 성립하며, 부분군의 구조가 복잡하더라도 몫군 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ 는 여전히 작다는 것을 보여준다.