[논문 리뷰] On the Multiplicative Theory of Numbers.

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 15.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 복소수, 실수, 양의 유리수의 곱셈 이론에 대해 유한하게 공리화할 수 없는 명시적 공리 체계를 제시하며, 기호가 양의 제거를 가능하게 하는 언어를 사용한다. 구성적인 논리적 프레임워크를 통해 결정 가능성을 확립하며, 이 수체계의 곱셈 구조를 완전하고 형식적으로 기술한다.

ABSTRACT

The multiplicative theory of a set of numbers (which could be natural, integer, rational, real or complex numbers) is the first-order theory of the structure of that set with (solely) the multiplication operation (that set is taken to be multiplicative, i.e., closed under multiplication). In this paper we study the multiplicative theories of the complex, real and (positive) rational numbers. These theories (and also the multiplicative theories of natural and integer numbers) are known to be decidable (i.e., there exists an algorithm that decides whether a given sentence is derivable form the theory); here we present explicit axiomatizations for them and show that they are not finitely axiomatizable. For each of these sets (of complex, real and [positive] rational numbers) a language, including the multiplication operation, is introduced in a way that it allows quantifier elimination (for the theory of that set).

연구 동기 및 목표

• 복소수, 실수, 양의 유리수의 곱셈 이론에 대해 명시적이고 완전한 공리 체계를 제공한다.
• 이 곱셈 이론들이 비유한 공리화 가능하더라도 결정 가능하다는 것을 보여준다.
• 각 수체계에 맞는 첫 번째 순서 언어를 도입하여, 양의 제거를 지원한다.
• 기초적인 수체계에서 곱셈 전용 시스템의 논리적 구조를 형식화한다.
• 모형 이론에 기여하여, 곱셈 수체계의 논리적 복잡성과 표현력을 명확히 한다.

제안 방법

• 복소수, 실수, 양의 유리수 각각에 대해 곱셈 연산만을 기본 연산으로 하는 첫 번째 순서 언어를 정의한다.
• 각 수집의 곱셈 닫힘성과 대수적 성질을 포괄하는 명시적 공리 체계를 구성한다.
• 곱셈 구조에서 정의 가능한 집합을 분석하여, 각 이론이 양의 제거를 허용함을 증명한다.
• 모형 이론적 기법을 사용하여 이론들이 결정 가능하다는 것을 보이며, 양의 제거의 존재에 기반한다.
• 유한한 공리 집합이 전체 곱셈 이론을 포괄할 수 없음을 보여줌으로써 비유한 공리화 가능성을 입증한다.
• 논리적 정의 가능성과 수체계의 곱셈에 대한 대수적 성질 사이의 대응관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수의 곱셈 이론은 완전히 공리화될 수 있으며, 만약 그렇다면 유한하게 공리화 가능한가?
• RQ2 실수의 곱셈 이론의 논리적 복잡도는 무엇이며, 양의 제거를 허용하는가?
• RQ3 곱셈만을 포함하는 첫 번째 순서 언어에서 양의 제거가 가능한가? (양의 유리수에서)
• RQ4 복소수, 실수, 양의 유리수의 곱셈 이론은 결정 가능성과 표현력 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 수체계의 어떤 구조적 성질이 곱셈 이론의 결정 가능성과 비유한 공리화 가능성의 원인인가?

주요 결과

• 복소수의 곱셈 이론은 결정 가능하며, 곱셈만을 포함하는 언어에서 양의 제거를 허용한다.
• 실수의 곱셈 이론은 결정 가능하며, 곱셈에 대해 닫혀 있는 언어에서 공리화 가능하며, 양의 제거를 허용한다.
• 양의 유리수의 곱셈 이론은 결정 가능하며, 곱셈만을 기본 연산으로 하는 첫 번째 순서 언어에서 양의 제거를 허용한다.
• 복소수, 실수, 양의 유리수의 곱셈 이론 모두 비유한 공리화 가능하지 않다.
• 각 수체계에 대해 곱셈 닫힘성과 대수적 구조에 기반한 명시적이고 완전한 공리 체계가 구성되었다.
• 각 케이스에서의 양의 제거 존재성은 언어 내 임의의 첫 번째 순서 문장의 진리가 알고리즘적으로 결정될 수 있음을 보장한다.