[논문 리뷰] On the no-gap second-order optimality conditions for a non-smooth semilinear elliptic optimal control

Vu Huu Nhu|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 25.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제어-상태 연속사상이 Gâteaux-미분 가능하지 않은 비미분 가능한 max-함수 비선형성을 포함하는 비미분 가능한 반선형 타원형 최적제어 문제에 대해 '간격이 없는' 두 번째 차수 최적성 이론을 수립한다. 비용 기능의 두 번째 차수 일반화 도함수를 도입하고, 두 번째 차수 테일러 유형 전개를 활용하여, 두 가지 핵심 가정 하에 필요 조건과 충분 조건이 엄격 부등호와 비엄격 부등호의 유일한 차이로만 다를 수 있는 필요 및 충분 조건을 유도한다: (1) 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성(상태의 영집합에서 쌍대 상태가 소멸하는 것으로 특징지어짐), (2) max-함수의 비미분점 근처 점들의 구조적 가정.

ABSTRACT

This work is concerned with second-order necessary and sufficient optimality conditions for optimal control of a non-smooth semilinear elliptic partial differential equation, where the nonlinearity is the non-smooth max-function and thus the associated control-to-state operator is in general not G\^{a}teaux-differentiable. In addition to standing assumptions, two main hypotheses are imposed. The first one is the G\^{a}teaux-differentiability at the considered control of the objective functional and it is precisely characterized by the vanishing of an adjoint state on the active set. The second one is a structural assumption on the 'almost' active sets, i.e., the sets of all points at which the values of the interested state are 'close' to the non-differentiability point of the max-function. We then derive a 'no-gap' theory of second-order optimality conditions in terms of an abstract curvature functional, i.e., for which the only change between necessary or sufficient second-order optimality conditions is between a strict and non strict inequality.

연구 동기 및 목표

• 비미분 가능한 반선형 타원형 최적제어 문제에 대해 max-함수 비선형성을 포함하는 두 번째 차수 필요 및 충분 최적성 조건을 개발하는 것.
• 제어-상태 연속사상이 max-함수의 비미분성으로 인해 Gâteaux-미분 가능하지 않은 데서 비롯되는 과제를 다루는 것.
• 필요 조건과 충분 조건 간의 유일한 차이가 부등호의 엄격성임을 보장하는 '간격이 없는' 이론을 수립하는 것.
• 상태의 영집합에서 쌍대 상태가 소멸하는 것으로 특징지어지는 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성의 특징을 규명하는 것.
• 유한요소 근사의 오차 추정을 위한 기반을 제공하기 위해 충분 조건의 등가 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 비용 기능의 두 번째 차수 일반화 도함수 Q(\bar{u}, \bar{p}; h)를 도입하여, max-함수의 '굽은 부분'에서의 비미분 행동을 포착한다.
• 최적 제어 주변에서 비용 기능의 두 번째 차수 테일러 유형 전개를 활용하여 최적성 조건을 도출한다.
• 두 가지 핵심 가정을 도입한다: (1) 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성(상태의 영집합에서 쌍대 상태가 소멸하는 것으로 특징지어짐); (2) max-함수의 비미분점 근처 점들의 집합에 대한 구조적 가정.
• 쌍대 상태 방정식과 제어-상태 사상 연속사상을 활용하여 최적성 조건을 상태 및 쌍대 변수와 연결한다.
• 약한 수렴 논증과 부분수열 추출을 활용하여 충분 조건에 대한 모순 기반 증명을 유도한다.
• 유한요소 근사의 오차 추정에 활용 가능한 잠재적 형태로, 충분 조건의 등가 표현(정리 5.3)을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 방정식에 비미분 가능한 max-함수가 포함된 상황에서, 주어진 제어에서 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성은 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ2 제어-상태 연속사상이 Gâteaux-미분 가능하지 않은 경우, 두 번째 차수 필요 및 충분 최적성 조건는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 max-함수의 비미분점 근처에서 상태에 대한 어떤 구조적 가정이 '간격이 없는' 두 번째 차수 최적성 이론을 가능하게 하는가?
• RQ4 유한요소 이산화의 오차 분석을 용이하게 하기 위해 두 번째 차수 충분 최적성 조건를 재구성할 수 있는가?
• RQ5 쌍대 상태는 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성 특징을 규명하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?

주요 결과

• 제어 \bar{u}에서 목적 기능의 Gâteaux-미분 가능성은 해당 상태 \bar{y}가 영이 되는 집합에서 쌍대 상태 \bar{p}가 소멸하는 것과 동치이다.
• 필요 조건과 충분 조건 간의 유일한 차이가 두 번째 차수 일반화 도함수 조건의 부등호의 엄격성임을 보장하는 '간격이 없는' 두 번째 차수 최적성 이론이 수립되었다.
• 모든 h \in C(U_{ad}; \bar{u}) \setminus \{0\} 에 대해 Q(\bar{u}, \bar{p}; h) > 0 이면 \bar{u}는 엄격 국소 최소값임을 의미한다.
• 정리 5.3에서 등가 충분 조건을 제공한다: 모든 h에 대해 Q(\bar{u}, \bar{p}; h) \geq c_0 \|h\|_{L^2}^2 이며, 이때 h는 C_\tau(U_{ad}; \bar{u})의 원소이다.
• 충분 조건의 증명은 정규화된 방향 수열의 약한 수렴과 L^2-노름의 약한 하측연속성에 기반한 모순 증명에 의존한다.
• 유도된 두 번째 차수 일반화 도함수 Q(\bar{u}, \bar{p}; h)는 부분수열 선택에 대해 불변임이 입증되어 극한에서의 일관성을 보장한다.