[논문 리뷰] On the Nonrelativistic Quantum-Mechanical Hamiltonian with $1/c^2$ terms. Transverse current-current interaction

L. Bányai|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코퓰러 게이지에서 랑다-리프시츠 형식을 사용하여 표준 코퓰러 상호작용만 포함하는 하미르토니안을 확장함으로써, $1/c^2$ 차수의 횡방향 전류-전류 상호작용을 포함하는 비상대론적 양자역학적 하미르토니안을 유도한다. 이는 양자화된 버전의 하미르토니안이 광자 없는 부분공간에서 비상대론적 QED의 $1/c^2$ 근사와 등가임을 보이며, 특히 외부 및 내부 자기장 간의 물리적 구별을 가능하게 하여 초전도체에서의 마이스너 효과를 이해하는 데 핵심적이다.

ABSTRACT

We extend the standard solid-state quantum mechanical Hamiltonian containing only Coulomb interactions between the charged particles by inclusion of $1/c^2$ terms representing (transverse) current-current interaction. For its derivation we use the classical formulation of Landau-Lifshitz, however consequently in the Coulomb gauge. Our Hamiltonian does not coincide with the Darwin Hamiltonian and we emphasize the mathematical inconsistency in its derivation. We show, that the quantized version of our Hamiltonian is equivalent to the non-relativistic QED considering only states without photons and retaining only terms of order $1/c^2$. The importance of this extended Hamiltonian lies in the possibility to distinguish external from internal magnetic fields. This aspect may be relevant for theories of the Meissner effect.

연구 동기 및 목표

• 전류-전류 상호작용을 포함하는 비상대론적 양자 시스템에 대해 $1/c^2$ 보정이 된 일관된 하미르토니안을 유도함으로써, 다이어먼 하미르토니안의 수학적 비일관성을 피하는 것.
• 코퓰러 게이지를 사용하여 게이지 선택의 모호함을 해결함으로써, 전자기장의 두 개의 물리적 횡방향 자유도만 유지되도록 하는 것.
• 유도된 고전적 및 양자화된 하미르토니안과 광자가 없는 부분공간에서 비상대론적 QED의 $1/c^2$ 근사 간의 직접적 등가성을 확립하는 것.
• 외부 및 내부 자기장 간의 물리적 구별을 가능하게 하여 초전도체에서의 마이스너 효과에 대한 미시적 이해에 필수적인 요소를 제공하는 것.

제안 방법

• 랜다-리프시츠의 고전적 $1/c^2$ 하미르토니안 유도를 따르되, 랑다-리프시츠가 사용한 게이지가 아니라 코퓰러 게이지를 적용하여 물리적 자유도만 유지되도록 하는 것.
• 외부 벡터 포텐셜을 종방향 성분이 없는 방식으로 표현하기 위해 코퓰러 게이지 조건 $\nabla \vec{A}^{\text{ext}} = 0$ 를 사용함으로써, 외부 전류 밀도의 횡방향 성분으로 표현하는 것.
• 고전적 하미르토니안을 $1/c^2$ 차수까지 유도하여, 밀도-밀도 상호작용과 유사한 횡방향 전류-전류 상호작용 항을 도출하는 것.
• 유도된 고전적 하미르토니안을 양자화하고, 그 두 번째 순서 S-행렬 원소가 $1/c^2$ 차수에서 비상대론적 QED의 것과 일치함을 보이며, 광자 보존자에 대해 $1/q^2$ 형태로 잘라내는 것.
• 페인만 도식 분석을 통해 전류-전류 상호작용이 가상 광자를 통한 두 번째 순서 전자-전자 산란에서 기인하며, 하미르토니안의 $-1/2$ 계수는 올바른 정규화를 보장하는 것임을 확인하는 것.
• 유도된 하미르토니안이 외부 및 내부 자기장 간의 구분이 필요한 시스템(예: 초전도체)에서 자기장 반응을 올바르게 묘사할 수 있음을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 일반적으로 $1/c^2$ 보정에 사용되는 다이어먼 하미르토니안은 유도 과정에서 물리적으로 비일관한가? 더 엄밀한 대체 방법은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 코퓰러 게이지에서 전자기장의 두 개의 횡방향 자유도만 유지하면서, 전하 입자 간의 $1/c^2$ 전자기 상호작용을 어떻게 일관되게 유도할 수 있는가?
• RQ3 유도된 하미르토니안의 양자화된 형태가 광자가 없는 경우 비상대론적 QED의 $1/c^2$ 근사와 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 확장된 하미르토니안은 외부 및 내부 자기장 간의 구별을 가능하게 하는가? 이러한 구별은 마이스너 효과 이론에 있어 왜 필수적인가?
• RQ5 횡방향 전류-전류 상호작용은 초전도체에서 이상 반자성의 미시적 기초를 어떻게 제공하는가?

주요 결과

• 유도된 고전적 하미르토니안은 $1/c^2$ 차수의 횡방향 전류-전류 상호작용 항을 포함하며, 코퓰러 게이지에서 수학적으로 일관되고 게이지 불변임.
• 광자가 없는 부분공간에 제한된 경우, 양자화된 하미르토니안은 비상대론적 QED의 $1/c^2$ 근사와 등가임.
• 전류-전류 상호작용은 가상 광자를 통한 두 번째 순서 전자-전자 산란에서 기인하며, 운동량 공간에서 광자 보존자에 대해 $1/q^2$로 근사됨.
• 전류-전류 상호작용 항 앞의 $-1/2$ 계수는 QED의 S-행렬과의 일致성을 확보하며, 페르미온의 반복 계산을 방지함.
• 하미르토니안은 외부 및 내부 자기장 간의 명확한 물리적 분리를 가능하게 하며, 이는 표준 코퓰러 상호작용 모델에는 존재하지 않는 특성임.
• 이 확장된 프레임워크는 자기장이 자발적으로 외부 자기장을 상쇄시키는 메커니즘을 설명할 수 있어, 자가일관장 근사에 의존하지 않고 마이스너 효과를 더 기본적인 기초로 이해하는 데 기여함.