[논문 리뷰] On the Notions of Rudimentarity, Primitive Recursivity and Representability of Functions and Relations

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 9인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 원시 재귀 관계가 모두 루디멘타리(즉, 유계 공식으로 정의 가능)라는 공통된 오해를 바로잡기 위해, 모든 원시 재귀 관계가 루디멘타리가 아님을 보여주는 새로운 간단한 증명을 제시한다. 또한 충분히 강력한 산술 이론에서 함수의 약한 표현 가능성과 강한 표현 가능성 사이의 동치성을 확립하며, 계산 가능성과 형식 산술 내 표현 가능성의 기초 문제를 명확히 하는 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

It is quite well-known from Kurt Godel's (1931) ground-breaking result on the Incompleteness Theorem that rudimentary relations (i.e., those definable by bounded formulae) are primitive recursive, and that primitive recursive functions are representable in sufficiently strong arithmetical theories. It is also known, though perhaps not as well-known as the former one, that some primitive recursive relations are not rudimentary. We present a simple and elementary proof of this fact in the first part of the paper. In the second part, we review some possible notions of representability of functions studied in the literature, and give a new proof of the equivalence of the weak representability with the (strong) representability of functions in sufficiently strong arithmetical theories. Our results shed some new light on the notions of rudimentary, primitive recursive, and representable functions and relations, and clarify, hopefully, some misunderstandings and confusing errors in the literature.

연구 동기 및 목표

• 모든 원시 재귀 관계가 루디멘타리(즉, ∆0-정의 가능)라는 널리 퍼진 오해를 바로잡기 위해, 단순한 반례를 제시한다.
• 형식 산술 내에서 루디멘타리, 원시 재귀, 표현 가능한 함수와 관계 사이의 관계를 명확히 한다.
• 충분히 강력한 산술 이론에서 함수의 약한 표현 가능성과 강한 표현 가능성 사이의 동치성을 새롭게 증명한다.
• 형식 체계 내에서 함수의 표현 가능성과 증명 가능 전항성에 관한 오랫동안 애매하고 잘못된 해석을 해결한다.

제안 방법

• 유계 공식의 ∆0 계층의 붕괴하지 않음을 바탕으로 한 대각선화 증명을 사용하여, 유계(∆0) 공식으로 정의될 수 없는 특정 원시 재귀 관계를 구성한다.
• 함수 f를 유계 기호를 통해 증명 코드 위에서 정의하는 새로운 공식 ψ(x, y)를 도입하여, 이론 내에서 유일성과 정확성을 보장한다.
• 이론 T 내에서 증명 존재성을 시뮬레이션하기 위해, 유계 증명 예측자 ̺(z, x) = ∃u ≤ z ProofT(u, x)를 사용한다.
• 이론 T의 충족 조건 (a)–(e)를 적용하여, 증명 코드가 유계 기호와 부등식에 대해 올바르게 행동하도록 보장한다.
• 함수 값의 유일성 ∃!u θ(x, u)을 적용하여, 전체 함수 성질을 보장하는 표준 출력 관계 η(x, y)를 정의한다.
• 모든 필수 조건 (a)–(e)를 만족하는 로빈슨 산술 Q를 활용하여, 증명의 일반 적용 가능성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 원시 재귀 관계는 유계(∆0) 공식으로 정의 가능한가?
• RQ2 이론 내에서 함수의 강한 표현 가능성은 그 증명 가능 전항성을 의미하는가?
• RQ3 충분히 강력한 이론 내에서 약하게 표현 가능한 함수는 항상 강하게 표현 가능한가?
• RQ4 어떤 조건을 만족하면 이론에서 약한 표현 가능성에서 강한 표현 가능성으로 이어지는가?
• RQ5 형식 산술 내에서 루디멘타리, 원시 재귀, 표현 가능한 함수는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 원시 재귀 관계 중에서 루디멘타리(즉, ∆0-정의 불가능)인 것이 존재하며, 이는 모든 pr 관계가 ∆0라는 일반적인 믿음을 반박한다.
• 원시 재귀 관계의 집합은 루디멘타리(∆0) 관계의 집합을 엄밀히 포함하며, 이는 유계 공식의 계층에 대한 대각선화 증명으로 입증된다.
• 이론 내에서 함수의 강한 표현 가능성은 그 증명 가능 전항성을 의미하며, 이는 이전에 허버-다이슨에게 귀속되었으나 이제는 새로운 직접적 증명이 제시된다.
• 이론이 다섯 가지 축약 조건 (a)–(e)를 만족하면, 함수의 약한 표현 가능성은 강한 표현 가능성으로 이어지며, 이 조건들에는 유계 기호의 행동과 증명 코드의 닫힘 성질이 포함된다.
• 약한 표현 가능성과 강한 표현 가능성의 동치성 증명은 재귀 이론 결과에 의존하지 않고, 기존 방법보다 더 직접적인 접근을 제공한다.
• 로빈슨 산술 Q는 다섯 가지 조건 (a)–(e)를 모두 만족하므로, 표현 가능성 결과의 기초 이론으로 적합하며, 이 틀의 강건성을 확인한다.