[논문 리뷰] On the NP-completeness of the Minimal Controllability Problem

Guilherme Ramos, Soummya Kar외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 17.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단순 고유값을 가진 선형 시간 불변 시스템에 대해 최소 가용성 문제(MCP)가 NP-완전임을 증명한다. 이를 위해 집합 커버링 문제로의 환원을 수행한다. 또한 MCP는 일반적으로 NP-완전이지만, 르베그 측도 기준으로 거의 다항식임을 보이며, 근사 기법을 통해 실용적인 부분 최적 해를 도출할 수 있는 방법을 제시한다.

ABSTRACT

This paper studies the minimal controllability problem(MCP), i.e., the problem of, given a linear time invariant system, finding the sparsest input vector tha t ensures system’s controllability. We show that the MCP is NP-complete, when the eigenvalues of the system dynamics matrix are simple. This is achieved by reducing the MCP to a set covering problem. In addition, the approximated solutions to the set covering problem lead to feasible (but sub-optimal) solutions to the MCP. Further, we analyze the relation of the MCP with its structural counterpart, the minimal structural controllability problem (MSCP) which is known to admit a polynomial complexity solution procedure. In fact, we conclude that the MCP is almost polynomial (P) in the sense the MCP for which we cannot show that is P (but NPcomplete) has zero Lesbegue measure. Finally, we provide an illustrative example where the solution to the MCP is found using the main results and reductions developed in this paper and posteriorly compared with the solution of the MSCP.

연구 동기 및 목표

• 최소 가용성 문제(MCP)의 계산 복잡도를 규명하는 것. 이는 시스템의 가용성 보장하는 가장 흐린 입력 벡터를 찾는 문제이다.
• MCP를 집합 커버링 문제로의 공식적 환원을 통해 계산의 난이도를 분석하는 것.
• MCP와 그 구조적 대응 문제인 최소 구조적 가용성 문제(MSCP) 간의 관계를 탐색하는 것. MSCP는 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 것이 알려져 있다.
• MCP가 NP-완전하나, 르베그 측도 기준으로 거의 다항식임을 입증하는 것.
• 구체적인 예제를 통해 MCP와 MSCP 해를 비교하여 방법을 시연하는 것.

제안 방법

• 단순 고유값 조건 하에서 MCP를 집합 커버링 문제로 환원하여 NP-완전성을 증명한다.
• 집합 커버링 문제의 근사 알고리즘을 활용해 MCP에 대해 타당하지만 부분 최적의 해를 도출한다.
• MSCP의 구조적 대응 문제를 분석하여, MCP의 NP-완전성와는 대비되는 다항식 시간 내의 해법 가능성을 비교 분석한다.
• 측도 이론적 추론을 활용하여, MCP가 NP-완전이 되는 시스템의 집합이 르베그 측도가 0임을 보이며, 이는 거의 다항식임을 의미한다.
• 구체적인 시스템에 대해 제안된 환원 및 해법 방법의 적용을 보여주는 수치적 예제를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 가용성 문제(MCP)는 계산적으로 어려운가? 만약 그렇다면 어떤 조건 하에서인가?
• RQ2 MCP는 집합 커버링 문제와 같은 알려진 NP-난해 문제로 환원될 수 있는가? 이를 통해 복잡도를 규명할 수 있는가?
• RQ3 MCP의 복잡도는 다항식 시간 내에 해결 가능한 것으로 알려진 최소 구조적 가용성 문제(MSCP)와 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 MCP의 NP-완전성은 일반적인 성질인가, 아니면 측도가 0인 집합에서만 발생하는가?
• RQ5 집합 커버링 문제의 근사 기법을 통해 실생활 응용에서 실용적인 부분 최적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 시스템 동역학 행렬이 단순 고유값을 가질 경우, MCP는 NP-완전임을 증명하였다.
• 문제는 집합 커버링 문제로 환원되며, 이는 복잡도 분석과 근사 해 도출의 길을 열어준다.
• 비록 NP-완전하나, MCP가 NP-완전이 되는 시스템의 집합은 르베그 측도가 0이므로 거의 다항식 측도를 가짐을 의미한다.
• 집합 커버링 문제의 근사 알고리즘을 통해 MCP에 대해 타당하지만 부분 최적의 해를 도출할 수 있다.
• 제안된 환원을 통해 MCP의 해를 계산할 수 있으며, 이를 구체적인 수치 예제를 통해 MSCP 해와 비교하여 시연하였다.