[논문 리뷰] On the number of commutation classes of the longest element in the symmetric group

Hugh Denoncourt, Dana C. Ernst외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1992년 쿤스에 의해 제기된 오랜 동안 미해결된 문제인 대칭군 $S_n$의 최장 원소에 대한 교환 클래스의 수를 조사한다. 히프, 정렬 네트워크, 뱀무늬 타일링, 그리고 가상선 배열과의 연결을 통해 저자들은 교환 클래스의 수 $c_n$이 여러 조합론적 구조와 대응됨을 규명하고, $c_n$의 첫 15개 값과 큰 $n$에 대해 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$의 최선의 현재 상한을 제시한다. 주요 기여는 $c_n$이 여러 풍부한 조합론적 구조와 일치함을 규명하여 코xeter 군에서의 축약 표현 동치의 이해를 심화시킨 것이다.

ABSTRACT

Using the standard Coxeter presentation for the symmetric group $S_n$, two reduced expressions for the same group element are said to be commutation equivalent if we can obtain one expression from the other by applying a finite sequence of commutations. The resulting equivalence classes of reduced expressions are called commutation classes. How many commutation classes are there for the longest element in $S_n$?

연구 동기 및 목표

• 1992년 쿤스에 의해 제기된 대칭군 $S_n$의 최장 원소에 대한 교환 클래스 수를 결정하는 것.
• 최장 원소의 교환 클래스와 히프, 정렬 네트워크, 뱀무늬 타일링 등의 다른 조합론적 구조 사이의 관계를 확립하는 것.
• 최장 원소에 대한 교환 클래스 수인 $c_n$의 첫 15개 값 제공 및 $c_n$에 대한 상한을 향상시키는 것.
• 코xeter 군에서의 축약 표현 동치의 조합론적 의미를 명확히 하기 위해 $c_n$이 여러 잘 알려진 이산수학 구조와 동치임을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 Matsumoto의 정리를 따르며, $S_n$의 표준 코xeter 표현을 사용하여 축약 표현과 교환 및 브레인드 이동을 통한 동치를 정의한다.
• 교환 클래스는 단일 교환에 대한 축약 표현의 동치류로 정의되며, $A_{n-1}$ 유형의 코xeter 체계를 통해 그 구조를 연구한다.
• 논문은 교환 클래스와 조합론적 구조 사이의 기존 이분사 사상(히프, 원시 정렬 네트워크, 정규 $2n$-각형의 단위 뱀무늬 타일링, 랭크 3의 오리엔티드 매트로이드, 가상선 배열)을 활용한다.
• 저자들은 이러한 이분사 사상과 기존의 수세기 기법을 이용하여 $n \leq 15$에 대해 $c_n$을 계산하고, Felsner와 Valtr의 결과를 응용하여 상한 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$를 유도한다.
• 히프의 격자점 표현과 정렬 네트워크 및 뱀무늬 타일링의 시각화를 통해 대응 관계를 설명하고, $c_4 = 8$과 같은 작은 경우를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최장 원소에 대한 $S_n$에서 교환 클래스는 몇 개인가? 이 수의 성장률은 어떻게 되는가?
• RQ2 $S_n$의 최장 원소의 교환 클래스와 대응되는 조합론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 더 큰 $n$에 대해 교환 클래스 수 $c_n$을 계산할 수 있으며, 어떤 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ4 $n \leq 15$에 대해 알려진 $c_n$의 값들은 $c_n$의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최장 원소에 대한 교환 클래스 수 $c_n$은 [13, Proposition 2.2]에서 제시된 이분사에 의해 $w_0$에 대한 히프의 수와 동일하다.
• 4에 대해 정확히 8개의 교환 클래스가 존재하며, 16개의 축약 표현을 나열하고 교환 동치에 따라 그룹화함으로써 확인되었다.
• 지금까지 알려진 $c_n$의 첫 15개 값은 다음과 같다: $1, 1, 2, 8, 62, 908, 24698, 1232944, 112018190, 18410581880$, 그 중 $c_{15}$가 지금까지 계산된 가장 큰 값이다.
• 현재 알려진 $c_n$에 대한 최선의 상한은 $n$이 충분히 클 경우 $c_n \leq 2^{0.6571n^2}$이며, 이는 Felsner와 Valtr의 가상선 배열에 관한 결과에서 유도되었다.
• 최장 원소의 교환 클래스는 $n$개 원소에 대한 원시 정렬 네트워크와도 이분사 관계에 있다.
• 최장 원소의 교환 클래스는 정규 $2n$-각형을 단위 뱀무늬로 타일링하는 것과도 이분사 관계에 있다.
• 기타 유한 코xeter 군에 대해서는 여전히 미해결 문제이며, 대칭군 $S_n$ 외에는 $c_n$에 관해 거의 알려진 바가 없다.