[논문 리뷰] On the Number of Restricted Prime Factors of an Integer II

Alexander P. Mangerel|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 06.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수의 분할된 집합 $ E_j $ 에서 정확히 $ k_j $ 개의 서로 다른 소인수를 가지는 $ x $ 이하의 정수의 수에 대한 渐近 공식을 수립한다. 이때 $ k_j \sim E_j(x) $ 라는 조건 하에서, 곱셈 함수에 대한 일반화된 Wirsing 유형 정리의 응용을 통해, $ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ 일 때 이러한 정수의 분포가 渐近적으로 포isson 분포를 따른다는 것을 확인한다. 이는 이 영역에서의 확률적 히وري스틱을 검증한다.

ABSTRACT

Given a partition $\{E_0,\ldots,E_n\}$ of the set of primes and a vector $\mathbf{k} \in \mathbb{N}_0^{n+1}$, we compute an asymptotic formula for the quantity $|\{m \leq x: ω_{E_j}(m) = k_j \ \forall \ 0 \leq j \leq n\}|$ uniformly in a wide range of the parameters $k_j$ that complements the results of a previous paper of the author. This is accomplished using an extension and generalization of a theorem of Wirsing due to the author that gives explicit estimates for the ratio $\frac{|M_g(x)|}{M_{f}(x)}$, whenever $f: \mathbb{N} ightarrow (0,\infty)$ and $g: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{C}$ are strongly multiplicative functions that are uniformly bounded on primes and satisfy $|g(n)| \leq f(n)$ for every $n \in \mathbb{N}$. This also allows us to conclude the validity of a probabilistic heuristic regarding $π(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$ in the case that $k_j = (1+o(1))E_j(x)$, for each $0 \leq j \leq n$.

연구 동기 및 목표

• 소수의 분할된 집합 $ \{E_j\} $ 에서 각 집합 $ E_j $ 에서 정확히 $ k_j $ 개의 서로 다른 소인수를 가지는 $ \leq x $ 인 정수의 수에 대한 渐近 공식 유도.
• 이전 연구에서 제기된 확률적 히وري스틱의 타당성을 검토: $ k_j \sim E_j(x) $ 일 때 이러한 정수의 분포가 포isson 분포를 띤다는 것.
• Halász의 단일 집합에 대한 결과를 분할된 소수 구조를 통해 다중 집합으로 확장.
• 모든 $ j $ 에 대해 균일하게 포isson 근사가 성립하는 조건을 분석적 수론 기법을 사용하여 확립.

제안 방법

• 강한 곱셈 함수 $ f, g $ 에 대해 $ |g(n)| \leq f(n) $ 를 만족할 때, $ |M_g(x)| / M_f(x) $ 의 비율을 추정하기 위해 Wirsing의 정리를 일반화.
• 분할된 소수 집합 $ \{E_j\} $ 의 곱셈적 구조와 관련된 산술 함수에 이 추정을 적용하며, 함수 $ f(n) = \prod_{j=0}^n (1 + \mathbf{1}_{p \in E_j}(n)) $ 를 사용.
• 함수 $ \Delta_E(x;g,T) $ 를 사용해 $ g(p) $ 의 진동을 제어하고, '좋은 쌍'을 정의하여 이상한 상관관계를 배제.
• $ \rho $-방법을 사용하며 $ \rho_j = k_j / E_j(x) $ 로 설정하고, 감마 함수와 Barnes $ G $-함수를 통해 渐近 전개 유도.
• 소수 거듭제곱에 대한 합의 이중 분할을 적용하여 오차 항을 제어: $ p^\nu \leq y $ 와 $ y < p^\nu \leq x^{1/2} $ 으로 나누어 처리.
• 예상 오차 항의 균일한 경계를 $ \Sigma_1 $ 과 $ \Sigma_2 $ 의 추정을 통해 확립하며, $ \Sigma_1 + \Sigma_2 = (1 + O(\log E_j(x)/E_j(x)))E_j(x) $ 라는 결과 도출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 집합 $ E_j $ 에서 $ k_j $ 개의 서로 다른 소인수를 가지는 정수의 분포가 $ k_j \sim E_j(x) $ 일 때 확률적 히وري스틱이 정확한가?
• RQ2 $ k_j $ 와 분할 $ \{E_j\} $ 에 어떤 조건이 성립할 때 $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 의 渐近 공식이 균일하게 성립하는가?
• RQ3 이 논문에서 사용된 방법, 즉 일반화된 Wirsing 유형 추정을 기반으로 한 방법이 이전 연구 [4] 와 독립적으로 새로운 渐近 결과를 도출하는 데 적용 가능한가?
• RQ4 渐近 공식의 오차 항은 $ k_j $, $ E_j(x) $, 각 $ E_j $ 에서의 소수 분포에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 단일 집합의 경우와 마찬가지로 $ \rho = k_j / E_j(x) $ 가 渐近 공식에서 올바른 편향인가?

주요 결과

• 모든 $ j $ 에 대해 $ E_j(x)^{-1+\epsilon} \ll \delta_j \leq \rho_j \leq B $ 이고 $ \delta \cdot \delta_j E_j(x) \to \infty $ 라면, $ \delta = \min_j \delta_j $ 일 때, $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 의 渐近 공식은 균일하게 성립한다.
• 모든 $ j $ 에 대해 $ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ 라면, 분포는 渐近적으로 포isson 분포를 따른다: $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) \sim x \prod_{j=0}^n \frac{E_j(x)^{k_j}}{k_j!} e^{-E_j(x)} $, 이는 확률적 히وري스틱을 확인한다.
• 渐近 공식의 오차 항은 $ O\left(x^{-1/2} \Gamma(\rho) F(\rho)^{-1}\right) $ 로 유계이다. 여기서 $ \Gamma(\rho) $ 와 $ F(\rho) $ 는 감마 함수와 Barnes $ G $-함수를 포함한다.
• $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}+\mathbf{e}_j)/\pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ 의 비율은 渐近적으로 $ \frac{E_j(x)}{k_j+1} $ 이며, 오차는 $ O\left(\frac{1}{E_j(x)} + \frac{\log E_j(x)}{E_j(x)}\right) $ 이다. 이는 포isson 모델을 지지한다.
• 이 방법은 이전 연구 [4] 와 독립적이며, 제어된 성장과 진동을 가지는 곱셈 함수에 대한 일반화된 Wirsing 유형 추정에 의존한다.
• 조건 $ \boldsymbol{E} $ 가 '좋은 분할' 이라는 조건을 만족할 때 결과가 성립한다. 즉, $ \Delta_{E_j}(x;g,T)/E_j(x) \gg_n 1 $ 이며, 이는 $ g(p) $ 와 소수 집합 $ E_j $ 간 이상한 상관관계를 배제한다.