[논문 리뷰] On the number of Singular Vector Tuples of Hyper-Cubical Tensors

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 30.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 초입방체 텐서의 단순 특이 벡터 튜플 수에 대한 유리 생성함수를 유도하며, 대각선 수열 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $가 헬로노믹(holonomic)임을 증명하고, 점점 더 큰 수렴 공식 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $을 제안한다. 이 작업은 생성함수 이론(generatingfunctionology), 매크마코닉 마스터 정리(MacMahon Master Theorem), 그리고 기호 계산(symbolic computation)를 융합하여 $ d=3,4,5,6 $에 대해 재귀 관계와 점점 더 큰 수렴을 확립한다. 이 공식의 증명을 위해 100달러의 상금을 제안하고, 상수 $ \alpha_d $의 닫힌 표현식을 위한 25달러의 상금도 제공한다. 결과는 온라인으로 이용 가능한 Maple 패키지로 구현되어 있다.

ABSTRACT

Shmuel Friedland and Giorgio Ottaviani's beautiful constant term expression for the number of singular vector tuples of generic tensors is used to derive a rational generating function for these numbers, that in turn, is used to obtain an asymptotic formula for the number of such tuples for n by n by n three-dimensional tensors, and to conjecture an asymptotic formula for the general d-dimensional case. A donation of 100 dollars, in honor of the first prover, will be made to the On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 $ d $차원 초입방체 텐서에서의 단순 특이 벡터 튜플 수를 결정하는 것.
• 이러한 튜플 수를 나타내는 수열 $ c(m_1,\dots,m_d) $에 대한 유리 생성함수를 유도하는 것.
• 각 $ d $에 대해 대각선 수열 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $가 헬로노믹(P-재귀적)임을 증명하는 것.
• 점점 더 큰 성장률에 대한 공식을 제안하며, 이 공식의 증명과 상수 $ \alpha_d $의 명시적 표현식을 위한 상금을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반적인 대각선에 1이 있는 $ d \times d $ 행렬을 사용하여 생성함수 이론과 매크마코닉 마스터 정리를 적용함으로써, $ c(m_1,\dots,m_d) $에 대한 유리 생성함수를 유도한다.
• 생성함수는 $ \prod_{i=1}^d x_i (\prod_{i=1}^d (1 - x_i))^{-1} (1 - \sum_{i=2}^d (i-1)e_i(x_1,\dots,x_d))^{-1} $로 표현되며, 여기서 $ e_i $는 기본 대칭 다항식이다.
• 생성함수의 유리성에 기반하여 알고리즘 증명 이론을 활용하여 $ C_d(n) $의 헬로노믹성( holonomy )을 확립한다.
• $ d=3 $의 경우 다항계수를 가진 5차 선형 재귀관계가 도출되었고, 기호 계산을 통해 수치적으로 확인되었다.
• 점점 더 큰 전개는 WZ 방법을 사용하여 계산되었으며, $ C_3(n) \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \cdots) $를 도출하였다.
• 수치적 증거는 $ d \geq 4 $에 대해 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $라는 추측을 강력히 지지한다. 다만 $ \alpha_d $의 닫힌 표현식은 아직 미해결이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 $ d $차원 초입방체 텐서(크기 $ n \times \cdots \times n $)에서 단순 특이 벡터 튜플의 정확한 수는 무엇인가요?
• RQ2 수열 $ c(m_1,\dots,m_d) $에 대한 생성함수는 닫힌 형태로 표현될 수 있으며, 이는 유리함수인가요?
• RQ3 대각선 수열 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $는 다항계수를 가진 선형 재귀관계를 만족하는가요?
• RQ4 수열 $ C_d(n) $의 점점 더 큰 성장률은 무엇이며, 이는 $ d $로 표현될 수 있는가요?
• RQ5 점점 더 큰 공식의 상수 $ \alpha_d $는 $ d $와 $ \pi $로 명시적으로 표현될 수 있는가요?

주요 결과

• 특이 벡터 튜플 수의 생성함수는, 특이 벡터 튜플 수를 상수항 문제로 변환하고 매크마코닉 마스터 정리를 적용함으로써 유리함수임을 보였다.
• $ d=3 $의 경우 수열 $ C_3(n) $는 다항계수를 가진 5차 선형 재귀관계를 만족하며, 기호 계산을 통해 확인되었다.
• 점점 더 큰 전개는 $ \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \frac{1477}{27}n^{-2} - \cdots) $이며, 주된 기저인 8은 9보다 열등하다.
• 수치적 증거는 $ d \geq 4 $에 대해 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $라는 추측을 강력히 지지한다. 다만 상수 $ \alpha_d $는 아직 증명되지 않았다.
• 수열 $ C_4(n) $의 첫 160개 항이 계산되었지만, 데이터가 부족하여 재귀관계를 찾지 못했으며, 이는 높은 복잡성을 시사한다.
• 도논 지엘버거(Doron Zeilberger)는 점점 더 큰 추측의 증명을 위해 100달러 상금을 제공하며, $ \alpha_d $의 명시적 공식을 위한 추가로 25달러의 상금도 제공한다.