[논문 리뷰] On the number of square integrable solutions and self-adjointness of symmetric first order systems of differential equations

Matthias Lesch, M. M. Malamud|ArXiv.org|2000. 12. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특이 히ル베르트 행렬을 가진 1차 미분방정식의 대칭계에 대해 L² 해의 수와 자기수반성 기준을 조사한다. 최소 대칭 관계의 수반 도메인에 대한 정규성 정리에 의해 형식적 열등지수와 비형식적 열등지수 사이의 다리를 놓으며, 정규 시스템에 대해서는 형식적 열등지수와 표준 열등지수의 일치를 증명하고, 2차 스투름-리우빌 방정식에 대한 티치머시-시어스 정리의 일반화를 수행한다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to investigate the formal deficiency indices ${\cal N}_{\pm}(I)$ of a symmetric first order system $$ Jf'+Bf=λ{\cal H} f $$ on an interval $I$, where $I=\mathbb{R}$ or $I=\mathbb{R}_\pm.$ Here $J,B,{cal H}$ are $n imes n$ matrix valued functions and the Hamiltonian ${\cal H}\ge 0$ may be singular even everywhere. We obtain two results for such a system to have minimal numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R})=0$ (resp. ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_\pm)=n$) and a criterion for their maximality ${\cal N}_{\pm}(\mathbb{R}_+)=2n.$ Some conditions for a canonical system to have intermediate numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_+)$ are presented, too. We also obtain a generalization of the well-known Titchmarsh-Sears theorem for second order Sturm-Liouville type equations. This contains results due to Lidskii and Krein as special cases. It is important to note that in general the above system does not give rise to an operator but rather to a symmetric linear relation in a Hilbert space. These relations are investigated in detail. As a byproduct we obtain very short proofs of (generalizations of) the main results of a paper by Kogan and Rofe-Beketov (Proc. Roy. Soc. Edinb. 74 (1974/75))as well as a criterion for the quasi-regularity of canonical systems. This covers the Kac-Krein theorem and some results from the quoted paper of Kogan and Rofe-Beketov.

연구 동기 및 목표

• 대칭 1차 시스템이 최소 또는 최대 열등지수를 갖는 조건을 결정하는 것.
• 최소 대칭 관계의 수반 도메인에 대한 정규성 정리를 통해 형식적 열등지수와 표준 열등지수 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 2차 스투름-리우빌 방정식에 대한 티치머시-시어스 정리를 1차 시스템으로 일반화하는 것.
• 실수 직선과 반직선에서 본질적 자기수반성에 대한 기준을 제공하며, 중간 열등지수 사례를 포함하는 것.
• 코건과 로페-베케토프의 결과 및 카크-크라인 정리를 특이 히르베르트 행렬을 가진 캐논리컬 시스템으로 확장하는 것.

제안 방법

• L²_\mathcal{H}(I)에서 대칭 선형 관계 S_{\min}과 S_{\min}^*를 도입하고, 그 도메인을 분석한다.
• S_{\min}^*의 도메인 \mathcal{D}(S_{\min}^*)에 대한 정규성 정리를 증명하여, 약한 해가 거의 어디서나 점별 해로 올라간다는 것을 보장한다.
• 게이지 변환을 사용하여 시스템을 정규 또는 캐논리컬 형태로 줄여 분석을 용이하게 한다.
• 대칭 선형 관계의 확장 이론을 적용하여 열등지수 N_\pm(S_{\min})를 특성화한다.
• 형식적 열등지수 \mathcal{N}_\pm와 표준 열등지수 N_\pm(S_{\min})를 비교하여, 정규 시스템에 대해서는 두 지수가 일치함을 보인다.
• 캐논리컬 시스템의 해에 대한 추적 추정과 점근적 분석을 통해 열등지수 값에 대한 기준을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 직선 \mathbb{R} 또는 반직선 \mathbb{R}_+에서 대칭 1차 시스템이 형식적 열등지수 \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0을 갖는가?
• RQ2 반직선 \mathbb{R}_+에서 시스템이 최대 열등지수 \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n을 갖는가?
• RQ3 어떤 조건에서 중간 열등지수 \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) \in \{n+1, \dots, 2n-1\}이 발생하는가?
• RQ4 형식적 열등지수 \mathcal{N}_\pm는 표준 열등지수 N_\pm(S_{\min})와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 티치머시-시어스 정리는 특이 히르베르트 행렬을 가진 1차 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 정규성 정리에 의해 \mathcal{D}(S_{\min}^*)에 속하는 모든 원소가 거의 어디서나 미분방정식을 만족하는 대표자를 갖는다. 이는 정규성 문제를 해결한다.
• 정규 시스템에 대해서는 형식적 열등지수 \mathcal{N}_\pm와 표준 열등지수 N_\pm(S_{\min})가 일치하며, \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0이 되는 것은 S_{\min}이 본질적으로 자기수반임과 동치이다.
• 일부 조건 하에서 \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n이 되는 것은 \int_0^\infty \operatorname{tr}(\mathcal{H}(x))\,dx = \infty임과 동치임을 증명한다.
• 스칼라 시스템(n=1)에 대해서는 \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1이 되는 것은 \int_0^\infty (\widetilde{A}^2(x) + 1)\mathcal{H}(x)\,dx = \infty임과 동치이며, 그 외의 경우 \mathcal{N}_\pm(P_+) = 2이다.
• 크라인의 주장에 대한 반례를 제시하여, \int_1^\infty \sqrt{\mathcal{H}(x)}\,dx = \infty이더라도 n=1일지라도 \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1이 되지 않을 수 있음을 보였다.
• 결과는 카크-크라인 정리를 일반화하고, 코건-로페-베케토프 기준을 준정규 캐논리컬 시스템으로 확장한다.