[논문 리뷰] On the operator norm of non-commutative polynomials in deterministic matrices and iid GUE matrices

Benoı̂t Collins, Alice Guionnet외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 10.

Random Matrices and Applications참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 GUE 랜덤 행렬과 결정론적 행렬에서의 비가환 다항식의 연산자 노름에 대한 정밀한 농도 경계를 설정하며, 다항식의 스무스 함수의 정규화된 트레이스와 그 자유 확률론적 극한 사이의 기대 차이가 $ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $ 이하로 유계임을 보여준다. 주요 결과로는 결정론적 행렬의 크기 $ M_N = o(N^{1/3}) $ 일 때, 이러한 다항식의 연산자 노름이 자유 극한으로 거의 확실히 수렴함을 증명하며, 이는 이전의 $ o(N^{1/4}) $ 경계를 향상시킨다.

ABSTRACT

Let $X^N = (X_1^N,\dots, X^N_d)$ be a d-tuple of $N imes N$ independent GUE random matrices and $Z^{NM}$ be any family of deterministic matrices in $\mathbb{M}_N(\mathbb{C})\otimes \mathbb{M}_M(\mathbb{C})$. Let $P$ be a self-adjoint non-commutative polynomial. A seminal work of Voiculescu shows that the empirical measure of the eigenvalues of $P(X^N)$ converges towards a deterministic measure defined thanks to free probability theory. Let now $f$ be a smooth function, the main technical result of this paper is a precise bound of the difference between the expectation of $$\frac{1}{MN} ext{Tr}\left( f(P(X^N\otimes I_M,Z^{NM})) ight)$$ and its limit when $N$ goes to infinity. If $f$ is six times differentiable, we show that it is bounded by $M^2\left\Vert f ight\Vert_{\mathcal{C}^6}N^{-2}$. As a corollary we obtain a new proof of a result of Haagerup and Thorbjørnsen, later developed by Male, which gives sufficient conditions for the operator norm of a polynomial evaluated in $(X^N,Z^{NM},{Z^{NM}}^*)$ to converge almost surely towards its free limit. Restricting ourselves to polynomials in independent GUE matrices, we give concentration estimates on the largest eingenvalue of these polynomials around their free limit. A direct consequence of these inequalities is that there exists some $β>0$ such that for any $\varepsilon_1<3+β)^{-1}$ and $\varepsilon_2<1/4$, almost surely for $N$ large enough, $$-\frac{1}{N^{\varepsilon_1}}\ \leq \| P(X^N)\| - \left\Vert P(x) ight\Vert \leq\ \frac{1}{N^{\varepsilon_2}}.$$ Finally if $X^N$ and $Y^{M_N}$ are independent and $M_N = o(N^{1/3})$, then almost surely, the norm of any polynomial in $(X^N\otimes I_{M_N},I_N\otimes Y^{M_N})$ converges almost surely towards its free limit. This result is an improvement of a Theorem of Pisier, who was himself using estimates from Haagerup and Thorbjørnsen, where $M_N$ had size $o(N^{1/4})$.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 GUE 행렬과 결정론적 행렬에서의 비가환 다항식의 연산자 노름에 대한 날카운 농도 부등식을 수립하는 것.
• 결정론적 행렬 크기의 일반적인 조건 하에서 연산자 노름이 자유 확률론적 극한으로 수렴하는 속도를 정량화하는 것.
• Haagerup과 Thorbjørnsen의 GUE 행렬 다항식의 연산자 노름에 대한 거의 확실한 수렴 결과에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.
• Pisier의 결과를 확장하여 결정론적 행렬 크기의 성장 조건을 $ o(N^{1/4}) $ 에서 $ o(N^{1/3}) $ 으로 향상시키는 것.

제안 방법

• 랜덤 및 결정론적 행렬의 다항식에 스무스 함수를 적용한 정규화된 트레이스와 그 자유 확률론적 극한 사이의 차이에 대한 고확률 농도 경계를 유도하는 것.
• 트레이스 기능의 변동성을 제어하기 위해 스펙트럴 갭 추론과 로그 소볼레프 부등식을 사용하는 것.
• 트레이스의 분산을 유계로 제한하기 위해 2차 수준의 Poincaré 유형 부등식을 적용하는 것.
• 다항식의 노름과 자유 극한 사이의 관계를 파악하기 위해 편미분 기반의 방법을 사용하며, 노름 차이에 대한 리프시츠 유형 경계를 적용하는 것.
• 노름 편차의 尾 확률을 제어하기 위해 截단 및 지수 모멘트 방법을 도입하는 것.
• 농도 경계와 커플링 추론을 결합하여 연산자 노름의 거의 확실한 수렴 속도를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립적인 GUE 행렬과 결정론적 행렬에서의 비가환 다항식의 연산자 노름이 자유 확률론적 극한으로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ2 행렬 크기 $ M $ 에 대해 이러한 다항식의 스무스 함수의 정규화된 트레이스의 농도가 균일하게 유계로 제한될 수 있는가?
• RQ3 결정론적 행렬 크기 $ M_N $ 의 성장률이 연산자 노름의 거의 확실한 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 더 강한 모멘트 가정 하에 Pisier 및 Haagerup-Thorbjørnsen의 $ o(N^{1/4}) $ 경계를 개선할 수 있는가?
• RQ5 다음과 같은 최적의 지수 $ \varepsilon $ 는 무엇인가? $ \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \in O(N^{-\varepsilon}) $ 거의 확실히.

주요 결과

• GUE 및 결정론적 행렬에서 다항식에 스무스 함수 $ f $ 를 적용한 정규화된 트레이스의 기대값과 자유 확률론적 극한 사이의 차이는 $ M^2 \|f\|_{\mathcal{C}^6} N^{-2} $ 이하로 유계이다.
• 모든 $ \varepsilon_1 < (3 + \beta)^{-1} $ 과 $ \varepsilon_2 < 1/4 $ 에 대해, 큰 $ N $ 에 대해 $ \left| \|P(X^N)\| - \|P(x)\| \right| \leq N^{-\varepsilon_2} $ 가 거의 확실히 성립한다.
• 결정론적 행렬 크기 $ M_N = o(N^{1/3}) $ 일 때, $ X^N \otimes I_{M_N} $ 와 $ I_N \otimes Y^{M_N} $ 에 대한 다항식의 연산자 노름은 자유 극한으로 거의 확실히 수렴하며, 이는 이전의 $ o(N^{1/4}) $ 경계를 향상시킨다.
• 논문은 Haagerup과 Thorbjørnsen의 거의 확실한 수렴 결과에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 노름 편차에 대한 농도 부등식이 지수 꼴 尾 확률 경계 $ e^{-K\delta^2 N} $ 를 만족함을 보여주며, 강한 농도를 나타낸다.
• 분석을 통해 연산자 노름 편차는 $ N^{-1/(3+\beta)} $ 의 순서로 제어됨을 규명하였으며, 이는 $ o(N^{1/3}) $ 조건 향상의 핵심 요소이다.