[논문 리뷰] On the optimal control problem for a class of monotone bilinear systems

Neil K. Dhingra, Marcello Colombino외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Diabetes and associated disorders참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비음성 상태를 가지는 생물학적 및 물리적 과정에서 발생하는 단조성 이차형 시스템에 대한 무한수명 최적 제어 문제를 수립하여, 최적 제어 입력이 시간에 따라 일정하며 유한차원 비미분 가능한 볼록 최적화를 통해 계산될 수 있음을 증명한다. 주요 기여는 최적 제어기를 계산하기 위한 하위기울기 알고리즘 개발과 모델 불확실성 하에서의 강건 제어로의 확장으로, 응용 분야로는 HIV 병용 약물 치료 설계가 포함된다.

ABSTRACT

We consider a class of monotone systems in which the control signal multiplies the state. Among other applications, such bilinear systems can be used to model the evolutionary dynamics of HIV in the presence of combination drug therapy. For this class of systems, we formulate an infinite horizon optimal control problem, prove that the optimal control signal is constant over time, and show that it can be computed by solving a finite-dimensional non-smooth convex optimization problem. We provide an explicit expression for the subdifferential set of the objective function and use a subgradient algorithm to design the optimal controller. We further extend our results to characterize the optimal robust controller for systems with uncertain dynamics and show that computing the robust controller is no harder than computing the nominal controller. We illustrate our results with an example motivated by combination drug therapy.

연구 동기 및 목표

• 비음성 상태를 가지는 생물학적 및 물리적 과정, 예를 들어 HIV 바이러스 동역학과 같은 시스템에서 발생하는 단조성 이차형 시스템의 최적 제어를 다루기 위해.
• 성능 지표로 유도된 파wer 노름을 사용하여 무한수명 최적 제어 문제를 수립하고, H∞ 성능을 일반화하기 위해.
• 최적 제어 입력이 시간에 따라 일정함을 증명하여, 이러한 시스템의 제어기 설계를 단순화하기 위해.
• 유도된 비미분 가능한 볼록 최적화 문제를 해결하기 위한 하위기울기 알고리즘을 개발하기 위해.
• 모델 불확실성 하에서의 강건 제어로의 프레임워크 확장을 위해, 시스템 행렬에 구조적 편향을 포함하여 강건 최적화 접근법을 사용하기 위해.

제안 방법

• 제어 입력이 상태를 곱하는 방식으로 작용하는 단조성 이차형 시스템의 클래스에 대해 최적 제어 문제를 수립하며, 시스템의 동역학은 메츠러 행렬에 의해 지배되고 제어 입력은 대각행렬을 통해 영향을 미친다.
• 목적 함수를 시스템 전이 함수의 유도된 파워 노름으로 정의하여 스칼라 제어 이득에 대한 비미분 가능한 볼록 최적화 문제로 이어진다.
• 하위기울기 기반 최적화를 가능하게 하기 위해 목적 함수의 하위미분에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 최적의 일정한 제어 입력을 계산하기 위해 하위기울기 알고리즘을 적용한다.
• 시스템 행렬에 구조적 편향을 포함시켜 모델 불확실성을 다루기 위해 프레임워크를 확장하고, 강건 최적화 접근법을 사용한다.
• 강건 제어기 설계가 명시적 케이스와 유사한 볼록 문제로 축소됨을 보여주어 계산의 타당성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한수명 성능 기준 하에서 단조성 이차형 시스템의 최적 제어 입력이 시간에 따라 일정함을 입증할 수 있는가?
• RQ2 비미분 가능성에도 불구하고 이러한 시스템의 최적 제어 문제를 유한차원 볼록 최적화로 다룰 수 있는가?
• RQ3 모델 불확실성 하에서의 강건 제어는 명시적 케이스에 비해 계산 복잡도가 증가하지 않게 설계할 수 있는가?
• RQ4 생물학적 응용 분야, 예를 들어 HIV 치료에서, 볼록 최적화를 통해 유도된 최적 제어 입력은 히وري스틱 또는 시간에 따라 변하는 접근법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ5 바이러스 네트워크에서의 불확실한 돌연변이 경로와 같은 구조적 불확실성은 제어기 성능과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연구된 단조성 이차형 시스템의 최적 제어 입력은 시간에 따라 일정하며, 이는 구현과 분석을 단순화한다.
• 최적 제어기는 명시적 하위미분 표현을 통해 비미분 가능한 볼록 최적화 문제를 해결함으로써 계산될 수 있으며, 하위기울기 방법을 적용할 수 있다.
• n=10개의 돌연변이체, r=1, ρ=3인 HIV 유사 예제에서, 명시적 최적 제어 입력은 u_nom = 1.5936이며, 강건 제어기는 u_rob = 1.9413이다.
• 명시적 제어기는 불확실한 돌연변이 경로 c ≥ 0.0054일 때 불안정해지지만, 강건 제어기는 c ≥ 0.5461일 때까지 안정성을 유지한다.
• 강건 제어기는 돌연변이 경로의 불확실성(예: x_n에서 x_1으로의 순환 연결)을 처리하도록 설계되었으며, 불확실성은 α_1n = 0.1로 제한된다.
• 임펄스 응답 분석을 통해 강건 제어기가 명시적 제어기보다 모델 편향에 훨씬 더 저항력이 있음을 확인하였으며, 특히 불확실성 하에서 뚜렷한 우수성을 보였다.