[논문 리뷰] On the optimal dividend problem for a spectrally positive Levy process

Chuancun Yin, Yuzhen Wen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 09.

Probability and Risk Models참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분기율이 유한한 스펙트르allly positive Lévy 과정에 대해 최적의 배당 전략이 임계 수준 $b^*$를 초과할 때만 최대 배당률로 배당을 지급하는 임계 전략임을 증명한다. 척도 함수와 변동 이론을 사용하여 기대 할인 배당 지급액에 대한 명시적 표현을 유도하고, 일반 조건 하에서 최적성을 입증함으로써 이전의 이중 모델 및 확산 교란 모델 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we study the optimal dividend problem for a company whose surplus process evolves as a spectrally positive Levy process. This model including the dual model of the classical risk model and the dual model with diffusion as special cases. We assume that dividends are paid to the shareholders according to admissible strategy whose dividend rate is bounded by a constant. The objective is to find a dividend policy so as to maximize the expected discounted value of dividends which are paid to the shareholders until the company is ruined. We show that the optimal dividend strategy is formed by a threshold strategy.

연구 동기 및 목표

• 분기율이 유한한 스펙트르allly positive Lévy 과정을 따르는 기업의 최적 배당 정책을 결정하는 것.
• 이중 모델 및 확산 교란 모델에 대한 이전 결과를 더 넓은 범주인 Lévy 과정으로 일반화하는 것.
• 점프 분포에 관계없이 일반적인 Lévy 측도 하에서 임계 전략의 최적성을 확립하는 것.
• 최적 전략 하에서 기대 할인 배당 지급액에 대한 명시적 표현을 도출하는 것.

제안 방법

• 분기율이 유한하고 파산 흡수를 고려한 스토크라스틱 제어 문제로 배당 최적화 문제를 수립한다.
• 스펙트르allly positive Lévy 과정과 관련된 척도 함수 $W^{(q)}$와 $Z^{(q)}$를 사용하여 가치 함수를 표현한다.
• 라플라스 지수 $\Psi(\theta)$와 우측 역함수 $\Phi_1(q)$를 사용하여 척도 함수의 행동을 특성화한다.
• 적분 표현을 통해 $W^{(q)}$와 $Z^{(q)}$를 포함한 $x > b^*$ 및 $0 < x < b^*$ 영역에 대해 가치 함수 $V(x,b^*)$를 조각별로 유도한다.
• 변분 분석과 경계 조건을 적용하여 최적의 임계값 $b^*$를 식 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$를 통해 결정한다.
• 값 함수의 도함수 조건을 통해 최적성을 입증한다: $x > b^*$일 때 $V'(x,b^*) < 1$이고 $x < b^*$일 때 $V'(x,b^*) > 1$이며, $b^*$에서 연속성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기율이 유한한 스펙트르allly positive Lévy 과정에서 배당 전략이 임계 전략으로 최적이 되는가?
• RQ2 지수 또는 확산 사례를 초월하여 일반적인 Lévy 과정에 대해 최적의 임계 수준 $b^*$를 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 Lévy 측도의 구조에 관계없이 임계 전략의 최적이 성립하는가?
• RQ4 최적 전략 하에서 기대 할인 배당 지급액을 닫힌 형태로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 최적 전략이 특정 파산을 피하면서 배당 지급액을 최대화하기 위해 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 최적의 배당 전략은 임계 수준 $b^*$를 초과할 때만 최대 배당률 $\alpha$로 배당을 지급하고, 그 외에는 지급하지 않는 임계 전략이다.
• 최적의 임계 수준 $b^*$는 식 $V(b^*,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)}$에 의해 결정되며, 이는 최적성의 도함수 조건을 보장한다.
• 모든 $x > b^*$에 대해 가치 함수는 $V(x,b^*) = \frac{\alpha}{q} - \frac{1}{\Phi_1(q)} e^{-\Phi_1(q)(x-b^*)}$로 표현되며, 이는 임계 수준에서의 수준 거리에 따라 지수적으로 감소함을 보여준다.
• $0 < x < b^*$ 영역에서는 척도 함수 $W^{(q)}$와 $Z^{(q)}$ 함수의 적분이 포함되어 있어, 임계 수준 이전의 역학을 반영한다.
• 도함수 $V'(x,b^*)$는 $x = b^*$에서 연속이며, $V'(b^*,b^*) = 1$을 만족하여 임계 수준에서의 부드러운 접합 조건을 확인한다.
• 결과는 이중 모델 및 이중 모델에 확산이 추가된 경우를 포함한 모든 스펙트르allly positive Lévy 과정에 대해 성립한다.