[논문 리뷰] On the optimal feedforward torque control problem of anisotropic synchronous machines: Quadrics, quartics and analytical solutions

Hisham Eldeeb, Christoph M. Hackl외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 05.

Electric Motor Design and Analysis참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 이방성 동기기에서 최적의 피드포워드 토크 제어 문제를 다항식 형태로 재구성함으로써 해석적 해를 제시한다. 토크, 전압, 전류 제약 조건을 이차형으로 재정의하여 4차 다항식의 근을 구하는 방식으로 최적의 직류 및 정현류 전류 기준값을 정확하게 계산할 수 있다. 이 방법은 수치적 근사나 단순화된 가정에 의존하지 않으며, IPMSM 및 RSM을 포함한 모든 기계 유형에서 MTPC, MTPV, MTPF, MC 및 FW 전략에 대해 정확한 해를 제공한다.

ABSTRACT

The optimal feedforward torque control problem is tackled and solved analytically for synchronous machines while stator resistance and cross-coupling inductance are explicitly considered. Analytical solutions for the direct and quadrature optimal reference currents are found for all major operation strategies such as Maximum Torque per Current (MTPC) (or often called as Maximum Torque per Ampere (MTPA)), Maximum Current (MC), Field Weakening (FW), Maximum Torque per Voltage (MTPV) and Maximum Torque per Flux (MTPF). Numerical methods (approximating the optimal solutions only) or simplifying assumptions (neglecting stator resistance and/or cross-coupling inductance) are no longer necessary. The presented results are based on one simple idea: all optimization problems (e.g. MTPC, MTPV or MTPF) with their respective constraints (e.g. current or voltage limit) and the computation of the intersection point(s) of voltage ellipse, current circle, or torque, MTPC, MTPV and MTPF hyperbolas are reformulated implicitly as quadrics (quadratic surfaces) which allow to solve the feedforward torque control problem by invoking the Lagrangian formalism and by finding the roots of a fourth-order polynomial analytically. The proposed solutions are applicable to any anisotropic (or isotropic) synchronous machine independent of the underlying current control strategy.

연구 동기 및 목표

• 동기기의 최적 피드포워드 토크 제어에서 수치적 근사나 단순화된 가정(예: 정자 저항 또는 교차결합 인덕턴스 무시)을 제거하기 위해.
• MTPC, MTPV, MTPF, MC 및 필드 와이킹 전략을 포함한 주요 운영 전략 전반에 걸쳐 직류 및 정현류 전류 기준값에 대한 정확한 해석적 해를 제공하기 위해.
• 토크, 전압 및 전류 제약 조건을 d-q 전류 공간 내 은닉된 이차형 표면으로 통합하여 동일한 방식으로 처리하기 위해.
• 기계 유형이나 제어 전략에 관계없이 이방성 동기기의 정확한 실시간 제어 설계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 기계의 토크, 전압 한계, 전류 한계 및 자속 노름을 d-q 전류 공간 내 은닉된 이차형 표면(이차형 형태)으로 재구성한다.
• 라그랑지안 체계를 적용하여 각 운영 전략 하에서 최적성의 필요 조건을 유도하고, 이는 이차형을 포함하는 방정식계의 해법으로 축소된다.
• 두 이차형의 교차(예: 토크 쌍곡선과 전압 타원)를 행렬 변환과 벡터 투영을 통해 매개변수 γ에 대한 단일 4차 다항식으로 변환한다.
• 해결된 4차 다항식을 알려진 대수적 방법을 사용해 해석적으로 풀며, 모든 실근을 계산하고 물리적 제1사분면 조건에 따라 적절한 근을 선택한다.
• 이차형 방정식에서 상수가 0인 경우와 같은 탈진한 경우를 처리하기 위해 좌표계를 이동시켜 비퇴화 상태로 복원한 후 4차 해법기를 적용한다.
• 해결된 결과를 원래의 d-q 기준으로 다시 매핑하여 계산된 전류 벡터가 모든 제약 조건을 만족하고 주어진 전략 하에서 최대 토크를 발생시킴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이방성 동기기에서 최적의 피드포워드 토크 제어 문제는 수치적 근사나 단순화된 가정 없이 해석적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 d-q 기준에서 비선형 제약 조건(예: 토크 쌍곡선과 전압 타원)의 교차는 어떻게 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 MTPC, MTPV, FW 등 주요 운영 전략을 이차형 표면과 4차 방정식을 통해 통일적으로 다룰 수 있는 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ4 일반 4차 다항식의 근은 어떻게 해석적으로 계산하고 실시간으로 물리적 전류 기준값으로 매핑할 수 있는가?
• RQ5 매트릭스 J를 통한 야코비안 유사 변환은 교차 문제를 해석 가능한 4차 방정식으로 줄이는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 이방성 또는 등방성 동기기 전부에 대해 MTPC, MTPV, MTPF, MC 및 필드 와이킹 전략 하에서 최적의 직류 및 정현류 전류 기준값에 대한 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 이전 연구에서 흔히 사용되는 수치 해법이나 단순화된 가정(예: 정자 저항을 무시하거나 교차결합 인덕턴스를 무시)을 피한다.
• 모든 최적화 문제들이 단일 4차 다항식의 해법으로 축소되며, 이는 알려진 대수 공식을 사용해 해석적으로 계산된다.
• 어떤 두 이차형의 교차(예: 토크 쌍곡선과 전압 타원)도 매개변수화된 변환을 통해 γ에 대한 4차 다항식으로 축소되어 닫힌 형태로 해석 가능하다.
• 좌표 이동을 통한 비퇴화 처리로 탈진한 경우에 대해 강건한 수치 안정성을 확보한다.
• 최종 전류 벡터는 x⋆(γ⋆) = −2(D − γ⋆J)⁻¹d + xs로 정확히 계산되며, γ⋆는 관심 있는 물리적 제1사분면 내 실근으로 선택된다.